試論數學解題中的構造方法

　　構造方法是直覺主義學派倡導的觀點方法，就是根據題設條件和結論所具有的特征、性質，按照某種固定的方式構造出滿足條件或結論的數學對象，經過有限步驟能夠實現的方法.這種方法具有描述的直觀性和現實的可操作性.
　　基本思路當某些問題按常規方法難以解決時，根據條件和結論的特征、性質展開聯想、類比，從一個目標聯想到我們曾經使用過并能達到目的的方法手段，進而構造出解決問題的特殊模式［１］.
　　構造法可按照要解決的問題的方向、構造物及作用等標準劃分，本文以構造物的作用劃分成以下幾種類型.
　　一、構造函數
　　證明柯西不等式
　　（ab）≤（a）（∑b）?搖?搖?搖?搖（a，b∈R）
　　分析：要證明的形式即
　　（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b）
　　形式與二次方程判別式相近，啟發我們構造多項式函數P（x）=（a+a+…+a）x-2（ab+ab+…+ab）x+（b+b+…+b）.
　　容易看出P（x）=（ax-b）+（ax-b）+…+（ax-b）≥0
　　所以判別式△=4（ab+ab+…+ab）-4（a+a+…+a）（b+b+…+b）≤0
　　即結論成立.
　　二、構造方程
　　例：已知a，b為不相等的實數，且有a+3a+1=0，b+3b+1=0，試求+的值.
　　因a、b均有兩個不同的值，若要分別求出的值分類計算時要做四次運算，相當繁瑣，注意到滿足同一條件，因而可考慮以為二根的一元一次方程x+3x+1=0.由韋達定理得a+b=-3，ab=1后整體代入，問題便迎刃而解.
　　例：已知（a+c）-4（a-b）（b+c）=0，求證a-c=2b.
　　分析：條件類似于b-4ac=0，聯想到以此為判別式的一元二次方程x-（a+c）x+（a-b）（b+c）=0有等根，即a-b=b+c，得a-c=2b.
　　三、構造模型
　　證明：C=C+C
　　可構造如下模型：
　　在a，a…a中任取n+1個元素，有C種取法，取出的n+1個元素中是否含有某一指定元素如a，有且只有兩種情形：
　　含a：只需a在a到這m個元素中取出n個，有C種取法.
　　不含a：只需a在到a這m個元素中取出n+1個，有C種取法.
　　由分類計數原理共有C+C種結論得證.
　　四、構造圖形
　　課本中推導兩角和與差的余弦公式時根據三角函數的定義在單位圓中構造了兩個全等的等腰三角形，由此可見其作用之重要，下面說明幾種構造圖形的常見方法.
　　4.1構造兩點間的距離。
　　例：已知x+y=1，求證（x+1）+（y+1）≥.
　　分析：考慮到以x+y=1為方程的動點M（x，y）的軌跡是條直線，而（x+1）+（y+1）為M（x，y）到定點P（-1，-1）的距離的平方，因而問題為P到直線x+y=1上的點的最小距離，即為到直線的距離，故
　?。▁+1）+（y+1）≥=
　　∴（x+1）+（y+1）≥.
　　4.2構造兩點確定的直線斜率。
　　例：求函數y=的值域.
　　考慮此式的幾何意義是以（cosx，sinx）為坐標的動點M與定點P（2，0）確定的直線斜率，而動點M的軌跡是單位圓，以形輔數的f（x）的值域是［-，-］.
　　4.3構造點到直線的距離公式。
　　例：a，x，y∈R且x+y=1，證明：-≤y-ax≤.
　　注意到x+y=1表示以坐標原點為圓心的單位圓，直線y=ax即ax-y=0過圓心，因而圓上一點（x，y）到直線的距離d=≤1，即得-≤y-ax≤.
　　4.4構造三角形，應用正余弦定理。
　　例：設x＞0，y＞0，z＞0，求證：+＞.
　　因為x，y，z＞0且=表示以x，y為邊，夾角為60°的三角形的第三邊，其余兩個式子具有類似意義。構造以O為定點的四面體O-ABC，使OA=x，OB=y，OC=z且∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°.
　　則AB=
　　BC=
　　AC=
　　由于△ABC中AB+BC＞AC，即證題設不等式.
　　4.5構造二次曲線，根據定義解決相關問題。
　　例：分別以6，7，9；6，8，8；6，6，10為三邊的三角形中，面積最大的一組邊長是?搖?搖 ?搖?搖.
　　解：考慮到三個三角形都有一邊長是6，另兩邊之和等于16，由橢圓的定義知另一頂點在焦距長為6，長軸長為8的橢圓上，當另一頂點為短軸端點時，到對邊的距離最大，即面積最大的一組邊長是6，8，8.
　　最后需要說明的是，構造方法具有很大的靈活性，針對問題如何構造，這與個體的數學知識和經驗密切相關.只有長期觀察積累，逐漸內化為自己的經驗，應用起來才會得心應手.
　　
　　參考文獻：
　?。?］孫名符等.數學教育學原理.北京：科學出版社，1996.
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