數(shù)學(xué)歸納法的結(jié)構(gòu)及其教學(xué)

　　數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)中居獨(dú)特地位，它在教學(xué)中的困難主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是學(xué)生對(duì)歸納法本身“可靠性”的懷疑，二是運(yùn)用歸納法證題時(shí)易出現(xiàn)“假證明”。
　　一、數(shù)學(xué)歸納法的結(jié)構(gòu)——演義與歸納的辯證統(tǒng)一
　　如果把特征的命題簡(jiǎn)記為，則數(shù)學(xué)歸納法證題的一般步驟是：（1）證明：真；（2）證明：S（k）真?圯S（k+1）真；（3）結(jié)論：真。
　　圖示為：S（k）真?圯S（k+1）真
　　S（1）真?圯S（n）真
　　縱觀全過程，這是一個(gè)“個(gè)別—特殊—一般”的推理形式，完全合乎歸納推理程序。從這一層面來講，它是歸納的。
　　但是，這個(gè)“從S（1）真到S（n）真”并不能靠歸納本身完成，否則就會(huì)成為“不完全歸納法”。它將經(jīng)由這樣的程序：假設(shè)S（k）真（S（1）真為這個(gè)假設(shè)奠定了基礎(chǔ)），然后經(jīng)過合乎邏輯規(guī)則的推理，最后得出S（k+1）真，這正是一個(gè)確定的結(jié)論的演繹的證明。從這一層面來講，它又是演繹的。
　　所以，把這種證題方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，較能體現(xiàn)歸納中有演繹、演繹中有歸納、歸納與演繹辯證統(tǒng)一的關(guān)系。而其中起關(guān)鍵作用的是演繹——正是靠了演繹，結(jié)論的正確性得到以從自然走向必然。我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)是歸納—演繹的，而演繹是其靈魂。數(shù)學(xué)歸納法是由遞推基礎(chǔ)“S（1）真”和遞推根據(jù)“S（k）真?圯S（k+1）真”協(xié)同作用實(shí)現(xiàn)其證明的美妙而獨(dú)特的數(shù)學(xué)方法。
　　二、教學(xué)中應(yīng)注意的幾個(gè)問題
　　1.注重不完全歸納法的地位。
　　數(shù)學(xué)歸納法有著不同的側(cè)面。作為純粹證題方法的“數(shù)學(xué)歸納法”與作為教學(xué)對(duì)象的“數(shù)學(xué)歸納法”，二者并非一回事。一般教法比較失策的一點(diǎn)是：為了引入數(shù)學(xué)歸納法，不惜犧牲不完全歸納法，只強(qiáng)調(diào)不完全歸納法“不可靠”的一面，而忽略它在作出“新發(fā)現(xiàn)”中起作用的一面。在教學(xué)中我們從不完全歸納法開始，利用“問題—發(fā)現(xiàn)”式教學(xué)，其程序大致是：
　　（1）問題：S（n）=1+3+5+…+（2n-1）=?
　　（2）列表：1=1
　　1+3=4
　　1+3+5=9
　　1+3+5+7=16
　　如果必要尚可多列出一些（或配合以圖形）。
　　（4）證明：用數(shù)學(xué)歸納法，示范講解，提出數(shù)學(xué)歸納法及其解題步驟。
　　（5）講練：初步入門就迅速轉(zhuǎn)入練習(xí)（包括講解例題），使學(xué)生在教師指導(dǎo)下，通過講練達(dá)到能懂、會(huì)用，明白道理。
　　2.遞推關(guān)系是數(shù)學(xué)歸納法的靈魂。
　　在數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)與解題過程中，中心而困難的一個(gè)環(huán)節(jié)是：“證明：S（k）真?圯S（k+1）真。”
　　問題表現(xiàn)在：
　　（1）不懂得對(duì)于每個(gè)具體的題目，如何將S（k）、S（k+1）真具體化。這在學(xué)習(xí)初期表現(xiàn)突出。對(duì)此，要耐心地進(jìn)行“解疑”和“啟蒙教育”。
　　（2）不懂得經(jīng)由怎樣的中間步驟實(shí)現(xiàn)“S（k）真?圯S（k+1）真”。解決這個(gè)問題沒有一成不變的辦法，原則是創(chuàng)造條件，利用歸納假設(shè)，針對(duì)具體題目（即一湊假設(shè)，二湊目的）。有時(shí)需要充分利用幾何直觀和試算猜想，其思維特點(diǎn)是直覺的或者歸納的；有時(shí)則需要從結(jié)論出發(fā)進(jìn)行逆推。而分析法用于數(shù)學(xué)歸納法證題，亦有講究。3.防止思維混亂，避免“假證明”。
　　數(shù)學(xué)歸納法證題訓(xùn)練中，學(xué)生往往不知不覺地認(rèn)為：（1）假設(shè)S（k）真，不也是假設(shè)了S（k+1）真嗎？S（k）與S（k+1）只是S（n）中n取k與k+1，它們沒有區(qū)別，所以關(guān)于“S（k）真?圯S（k+1）真”的證明是走形式。（2）假設(shè)S（k）真不就是假設(shè)S（n）真嗎？k與n都代表自然數(shù)，只是符號(hào)有別，命題S（k）就是命題S（n），假設(shè)它真還證什么？如上述種種錯(cuò)誤理解，極易引起學(xué)生的思維混亂，甚至導(dǎo)致數(shù)學(xué)歸納法“可靠性”的懷疑。而另有一些同學(xué)則喜不自勝，以為數(shù)學(xué)歸納法全是走過場(chǎng)，作業(yè)中便會(huì)自覺或不自覺地出現(xiàn)一些“假證明”。為此，在教學(xué)開始時(shí)應(yīng)講清楚數(shù)學(xué)歸納法的原理，在證題訓(xùn)練中讓學(xué)生完全理解并規(guī)范約束學(xué)生的證題思路，使他們由不自覺到自覺，真正領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)歸納法，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法。
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文