函數單調性的應用

　　靈活運用函數單調性定義，充分發揮它的功能可以解決許多問題，下面舉例說明.
　　一、證明函數單調性
　　例1.用單調性定義證明函數f（x）=-x+1在R上是減函數.
　　解析：任取x，x∈（-∞，+∞）且x＜x則
　　f（x）-f（x）=-x+1+x-1
　　=（x-x）（x+xx+x）
　　∵x＜x?搖?搖∴x-x＜0
　　當xx＜0時，x+xx+x=（x+x）-xx＞0
　　當xx≥0時，x+xx+x＞0
　　∴f（x）-f（x）＜0?圯f（x）＜f（x）
　　∴f（x）=-x+1在R上是減函數.
　　二、求單調區間
　　例2.求函數y=log（x+3x-10）的單調區間.
　　解析：由x+3x-10＞0?圯x＜-5或x＞2
　　令y=logu，u=x+3x-10=（x+）-12
　　當x∈（-∞，-5）時，x?邙?圯u?鄔?圯y?邙
　　當x∈（2，+∞）時，x?邙?圯u?邙?圯y?鄔
　　∴函數的單調性區間是（-∞，-5），單調區間為（2，+∞）.
　　三、比較大小
　　例3：已知偶函數f（x）在［1，4］上單調遞減，試比較f（log8）與f（3）的大小.
　　解析：f（log8）=f（3）?搖?搖 f（3）=f（）
　　∵f（x）是偶函數∴f（-3）=f（3）
　　而1＜＜3，由f（x）在［1，4］上單調遞減
　　即有f()＜f（3）=f（-3）
　　∴f（3）＞f（log8）
　　四、求值域
　　例4：求函數y=?搖?搖x∈［1，2］的值域.
　　解析：∵在區間［1，2］上函數y=是單調遞減函數.
　　∴≤y≤3
　　∴函數y=的值域為{y|≤y≤3|}.
　　五、解不等式
　　例5：解不等式log（x-4x+3）＞-1.
　　解析：當x-4x+3＞0時原不等式變為式log（x-4x+3）＞log3
　　∵函數y=logx為減函數
　　∴x-4x+3＜3
　　∴原不等式等價于不等式組x-4x+3＞0x-4x+3＜3
　　解得0＜x＜1或3＜x＜4
　　∴原不等式的解集為{x|0＜x＜1或3＜x＜4}.
　　六、證明不等式
　　例6.已知0＜a＜（R≥Z，R∈N）且a＜a-b.求證：b＜.
　　解析：由條件b＜a-a=-（a-）+
　　記f（x）=-（a-）+.
　　當x∈（0，）時f（x）為增函數.
　　∵R≥2?搖?搖?搖?搖，∴0＜a＜≤.
　　故f（a）＜f（）.
　　從而b＜-（a-）+＜-（-）+
　　=-+=＜=.
　　七、求參變數的范圍
　　例7：已知奇函數f（x）=-x在R上是減函數，設對一切x∈R，不等式f（2x-4x+3）+f（2kx-kx）＜0總成立，試確定k的取值范圍.
　　解析：對一切x∈R，不等式f（2x-4x+3）+f（2kx-kx）＜0總成立.
　　即有2x-4x+3＞kx-2kx?圯2x-kx+（2k-4）x+3＞0對一切x∈R成立.
　　當k=2時，不等式為3＞0，對x∈R成立.
　　當k＜2時，只要△=（2k-4）-12（2-k）＜0?圯k-k-2＜0?圯-1＜k＜2
　　∴k的范圍是（-1，2］.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文