以線串點

　　摘 要： 函數值域是函數部分的重要內容，在高考中占有一定的比重，是高考的熱點和難點。本文將結合高中學生認知的特點以常見的題型為“線”來總結求值域的方法。
　　關鍵詞： 函數值域 函數類型 教法 線 點
　　
　　函數值域是函數部分的重要內容，在高考中占有一定的比重，是高考的熱點和難點.求值域的方法比較多，學生掌握起來有一定的難度，這就需要教師在教法上下工夫.傳統的教法是以求值域的方法為線來展開教學的，我認為這樣的教法雖然能比較系統地將求值域的方法一一講授，但不利于學生對知識結構的整體把握.我認為應該從學生的認知角度來設計教學.本文將以函數類型為“線”將求值域的方法這些“點”串起來，供參考.
　　在高中階段，學生要面對的大部分函數是二次型函數、分式型函數和無理型函數（或通過變形、化簡得到）.本文主要從這幾種類型的函數來闡述求值域的方法.
　　一、二次型函數（二次函數或可化成二次函數的函數）求值域
　　例1.求函數y=x-2x，x∈（，2）的值域
　　解析：本題是二次函數，我們考慮用配方法解決.
　　y=x-2x=（x-1）-1，x∈（，2）
　　所以函數值域為［-1，0）
　　例2.求函數y=sinx-3sinx+4的值域
　　解析：本題是一個復合函數，但通過運用換元法可以轉化成二次函數解決.
　　令sinx=t，則t∈［-1，1］
　　∴y=t-3t+4=（t-）+
　　所以函數值域為［2，8］
　　一般可以轉化成二次函數的函數可以用配方法求值域.
　　二、分式型函數求值域
　　例3.求函數y=的值域
　　解析：本題用分離常數法將原函數化成了只有分母含有自變量的式子求值域.
　　y===2+
　　∴y≠2
　　∴函數值域為（-∞，2）∪（2，+∞）
　　一般分子分母同次且變量的系數成比例的分式求值域用分離常數法.
　　例4.求函數y=的值域
　　解析：本題不能分離常數，觀察函數分子分母的最高次為二次，定義域為R，我們考慮利用根的判別式求值域.
　　兩邊同時乘以（x+x+1）得yx+yx+y=2x+x+1
　　變形得（y-2）x+（y-1）x+y-1=0
　　當y=2時，x=-1
　　當y≠2時，Δ=（y-1）-4（y-1）（y-2）≥0，∴1≤y≤
　　所以函數值域為［1，］
　　一般可以化成二次方程的分式函數（特別是定義域為R）可以用判別式法.
　　例5.求函數y=（x＞0）的值域
　　解析：本題雖然能化成二次方程，但函數定義域不是R，用判別式法3hNFyCSEGZFdaREWsso4p0R4qoRxbQUbuAdHhDcP/Ow=比較麻煩，根據函數特點我們考慮用基本不等式解決.
　　∵x＞0 ∴y==
　　∵x+≥2 ∴y∈（0，］（當且僅當x=1時取“=”）
　　所以函數值域為（0，］
　　例6.求函數y=x+（x∈［2，3］）的值域
　　解析：本題不適合用基本不等式解決（“=”取不到），我們考慮用函數的單調性解決.
　　∵y=x+在［2，3］上是單調增函數
　　∴函數值域為［，］
　　一般對于用基本方法不好解決的函數可以考慮利用函數的單調性.
　　三、無理型函數求值域
　　例7.求函數y=x+2的值域
　　解析：本題含有無理項，我們考慮用換元法把根式去掉.
　　令t=，則t≥0，x=t-1
　　∴y=t-1+2t=（t+1）-2（t≥0）
　　所以函數值域為［-1，+∞）
　　一般含有無理項的函數求值域可以先用換元法化簡.
　　例8.求函數y=x+的值域
　　解析：本題用普通換元法不能將根式去掉，結合函數結構我們考慮用三角換元法求解.
　　由1-x≥0得-1≤x≤1
　　令x=sinθ（θ∈［-，］），則y=sinθ+cosθ=sin（θ+）
　　∵θ∈［-，］
　　∴θ+∈［-，］
　　∴-1≤y≤
　　∴函數值域為［-1，］
　　例9.求函數y=-的值域
　　解析：本題雖然含有無理項，但換元并不能把根式去掉，達不到化簡的目的，我們考慮用單調性解決.
　　y=-=
　　易得函數在定義域［１，＋∞）上是減函數
　　所以函數值域為（0，］
　　一般對于基本方法不好解決的函數可以考慮利用函數的單調性.
　　此外還有高次函數等其他類型函數的函數，在這里就不一一敘述了.
　　總之，以求值域的方法為“線”來組織教學是用方法來總結題目；以函數類型為“線”來組織教學是用題型來總結方法，而從我們的認知情況來看，我們先面對的是題目而不是方法.