利用拉普拉斯變換求解常微分方程

　　摘 要： 根據(jù)拉普拉斯變換的線性性質(zhì)，可以使一個未知函數(shù)所滿足的常系數(shù)線性微分方程的初值問題經(jīng)過拉普拉斯變換后，轉(zhuǎn)化為它的象函數(shù)所滿足的代數(shù)方程。解此代數(shù)方程，然后再取拉普拉斯逆變換，就得到原微分方程的解。
　　關(guān)鍵詞： 拉普拉斯變換 常微分方程 初值問題
　　
　　拉普拉斯變換是為簡化計算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換.對一個實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計算上容易得多.拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來處理，從而使計算簡化.
　　1.拉普拉斯變換的定義及性質(zhì)
　　由積分F（S）=?蘩ef（t）所定義的復(fù)平面（Res＞σ）上的復(fù)變數(shù)s的函數(shù)F（S），稱為函數(shù)f（t）的拉普拉斯變換，其中f（t）于t≥0有定義，且滿足不等式|f（t）|＜Me，這里M，σ為某兩個正常數(shù)，我們將稱為f（t）原函數(shù)，而F（S）稱為象函數(shù).
　　在應(yīng)用拉普拉斯變換解決問題時，經(jīng)常用到的性質(zhì)有拉普拉斯變換的線性性質(zhì)、平移性質(zhì)、微分性質(zhì)（包括象原函數(shù)的微分性質(zhì)、象函數(shù)的微分性質(zhì)）積分性質(zhì)（包括象原函數(shù)的積分性質(zhì)、象函數(shù)的積分性質(zhì)）、極限性質(zhì).
　　2.利用拉氏變換求解微分方程初值問題
　　用拉氏變換求微分方程初值問題的解做法如圖1。
　　圖1 用拉氏變換求微分方程初值問題的解
　　由于使用了拉氏變換，在時間域中求原函數(shù)（微分方程初值問題的解）轉(zhuǎn)換為在復(fù)數(shù)域中求象函數(shù)（代數(shù)方程的解），從而方便了運(yùn)算.在圖１中，如果象函數(shù)是有理分式函數(shù)，就可以通過部分分式分解和查表的方法求出微分方程初值問題的解.與經(jīng)典的解微分方程初值問題的方法比較，拉氏變換法比較直接，可以直接得到初值問題的解，特別是沒有確定任意常數(shù)這一步驟，確定任意常數(shù)實(shí)際上是解線性方程組，當(dāng)方程階次較高時，這一步驟是很繁瑣的.
　　與經(jīng)典方法先求微分方程的通解，然后根據(jù)初始條件確定其任意常數(shù)的求特解的方法相比，拉普拉斯變換法有以下幾個優(yōu)點(diǎn)：
　　（1）拉普拉斯變換法把常系數(shù)線性微分方程轉(zhuǎn)化為象函數(shù)的代數(shù)方程，這個代數(shù)方程已“包含”了預(yù)先給定的初始條件，因而省去了經(jīng)典方法中由通解求特解的步驟.
　　（2）當(dāng)初始條件全部為零時（這在工程實(shí)際中是常見的），用拉普拉斯變換求解更為簡便.
　　拉普拉斯變換法主要借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線性方程（組）轉(zhuǎn)換成復(fù)變數(shù)s的代數(shù)方程（組），通過一些代數(shù)運(yùn)算，一般再利用拉普拉斯變換表，即可求出微分方程（組）的解.方法十分簡便，為工程技術(shù)工作者所普遍采用.當(dāng)然方法也具有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函數(shù)必須是原函數(shù)，否則該方法就不適用了.
　　3.應(yīng)用實(shí)例
　　例1：求解方程x″+2x′+x=e，x（0）=x′（0）=0.
　　解：先令τ=t-1，將問題化為
　　x″+2x′+x=e，x（0）=x′（0）=0，
　　再對新方程兩邊做拉普拉斯變換，得到
　　sX（s）+2sX（s）+X（s）=?
　　因此X（s）=?
　　查拉普拉斯變換表可得x（τ）=τe，
　　從而x（t）=（t-1）e，這就是所要求的解.
　　例2：求方程x?蓯+3x″+3x′+x=1的滿足初值條件x（0）=x′（0）=x″（0）=0的解.
　　解：對方程兩邊做拉普拉斯變換得（s+3s+3s+1）X（s）=.
　　由此得X（s）=把上式右端分解成部分分式：
　　=---
　　對上式右端各項(xiàng)分別求出（查表）其原函數(shù)，則它們的和就是X（s）的原函數(shù)，所要求的解為：
　　x（t）=1-e-te-（t+2t+2）e
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］丁同仁，李承治.常微分方程教程［M］.北京：高等教育出版社，1991：42-43.
　　［2］陸鐳.拉普拉斯變換及其應(yīng)用［J］.安慶師范學(xué)院學(xué)報，2002：75-99.
　　［3］東北師范大學(xué)微分方程教研室.常微分方程（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2005：122-135.