二次函數解析式妙解五法

　　摘 要： 二次函數是人教版初中九年級上冊內容，求其解析式是每年中考的考點之一，要求學生要學會分析、掌握不同情況下求其解析式的方法，考查了學生的分析能力、邏輯思維和綜合運用能力。
　　關鍵詞： 二次函數 解析式 求解方法
　　
　　二次函數是人教版初中九年級上冊內容，它的解析式也是每年中考的考點之一，要求學生要學會分析、掌握不同情況下求其解析式的方法，還考查了學生的分析能力、邏輯思維和綜合運用能力.二次函數的解析式有y=ax、y=ax+k、y=a（x-h）、y=a（x-h）+k、y=ax+bx+c、y=a（x-x）（x-x），其中a≠0.下面我就如何求二次函數解析式談一些看法.
　　一、從二次函數的解析式之間的關系入手
　　y=ax、y=ax+k、y=a（x-h）、y=a（x-h）+k（a≠0）這四種形式稱為二次函數的頂點式，y=ax+bx+c（a≠0）是二次函數的一般式，y=a（x-x）（x-x）（a≠0）是二次函數的兩根式.要想求得二次函數的解析式先要了解它們之間關系，如圖：
　　y=ax y=ax+k y=a（x-h）y=a（x-h）+k
　　這是頂點式相互之間的關系，它們之間通過平移可以相互得到新的解析式.
　　例1：把二次函數y=2x4pscL4UE2wnePDTBMphUaE82eOxlI9QRSGXSm5/yjaU=的圖像先向上平移兩個單位，再向左平移三個單位，求新的函數關系式.
　　分析：y=2xy=2x+2y=2（x+3）+2
　　解：二次函數y=2x的圖像向上平移兩個單位，再向左平移三個單位后的函數解析式為y=2（x+3）+2.
　　二、從頂點入手
　　每種解析式都有其不同的頂點，根據這點，我們可以設合適的解析式，再找到圖像上的點代入其中，求得其解析式。若題目中給出二次函數的頂點是（0，0），則可設其解析式為y=ax，再在二次函數上找一個點代入式中解出系數a即可.若題目中提到二次函數的頂點為（0，k），則可設其解析式為y=ax+k，再把函數上的兩個不同的點同時代入式中，組成二元一次方程式組，解得a，k即可.若給出二次函數的頂點是（h，0），則可設其解析式為y=a（x-h），再把函數上的一個點代入式中，求得a即可.若給出二次函數的頂點（h，k），則可設其解析式為y=a（x-h）+k，再找到函數上的一個點代入解析式中，求得a即可.
　　例2：二次函數過點（2，5）且頂點坐標為（1，4），求此二次函數的解析式.
　　分析：二次函數頂點為（1，4），可設頂點式y=a（x-1）+4，求得a即可.
　　解：設此二次函數解析式為y=a（x-1）+4，則有：
　　5=a（2-1）+4，解得a=1.
　　∴此二次函數解析式為y=（x-1）+4.
　　三、從對稱軸入手
　　求二次函數的解析式有時也可以從其對稱軸入手，利用解析式y=a（x-h）+k來解題.解析式y=a（x-h）+k的對稱軸為x=h，由對稱軸得到h，再找兩個不同的點代入式子中，求得a，k，從而求得其解析式.二次函數的對稱軸有時可從圖像上直接獲得，有時可從表格中通過函數值的對稱性可獲得，有時也可以通過觀察題目給出的點的縱坐標得到.
　　例3：如圖1，已知二次函數的圖像經過點A（0，1），B（3，0），求它的解析式．
　　分析：從圖像上可以得到二次函數的對稱軸為x=2，則可設其解析式為y=a（x-2）+k，再把A，B兩點代入式子中，組成二元一次方程組，從而可解得a，k，進而得出所求解析式.
　　解：依題意設二次函數的解析式為y=a（x-2）+k，把A，B兩點代入式子中，則有
　　1=a（0-2）+k0=a（3-2）+k解得：a=k=-
　　∴此二次函數解析式為y=（x-2）-.
　　例4：已知二次函數y=ax+bx+c中，函數y與自變量x的部分對應值如下表：
　　求該二次函數的解析式.
　　分析：觀察表格發現，y的值在x=2兩邊成對稱出現，所以可以判定這個二次函數的對稱軸為x=1，即h=2，通過觀察還可以發現，此二次函數的頂點坐標為（2，1），故可設其解析式為y=a（x-2）+1，再找一個點代入解析式中，解出a即可.
　　解：依題意設此二次函數的解析式為y=a（x-2）+1，則有：2=a（1-2）+1，解得a=1.
　　∴此二次函數解析式為y=（x-2）+1.
　　四、從一般式入手
　　有時候題目中不會直接給出頂點或對稱軸，此時可以利用一般式y=ax+bx+c來解決.從圖上或題目中找到拋物線上不同的三個點，代入式子中，組成三元一次方程組，解出系數a，b，c，就可以得到二次函數的解析式了.
　　例5：已知二次函數經過點（2，1），且與x軸的交點為（3，0），與y軸的交點為（0，4），求此二次函數的解析式.
　　分析：函數經過三個不同的點，可以設其解析式為y=ax+bx+c，再把點（2，1），（3，0），（0，4）代入式子中，組成三元一次方程組，求得系數a，b，c即可.
　　解：依題意設此二次函數的解析式為y=ax+bx+c，則有：
　　1=4a+2b+c0=9a+3b+c4=c，解得a=b=-c=4
　　∴此二次函數的解析式為y=x-x+4.
　　五、從兩根式入手
　　二次函數y=ax+bx+c（a≠0）與一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有很密切的關系，一元二次方程可以看做是二次函數y=ax+bx+c（a≠0）與x軸相交時的情形.當知道二次函數與x軸的交點坐標時，我們可以用兩根式y=a（x-x）（x-x）（a≠0）.
　　二次函數解析式的表達形式是多種多樣的，所以要求學生在牢固掌握基礎知識的同時，靈活運用，善于分析，善于總結.
　　
　　參考文獻：
　　［1］王庚.數學文化與數學教育—數學文化報告集.北京：科學出版社，2004.1.