高中數學恒成立問題應試處理策略

　　摘 要： 恒成立問題一直以來都是高中數學中的一個重點和難點，這類問題沒有一個固定的處理方法。恒成立問題能夠很好地考查函數數列不等式等知識，以及轉化化歸等數學思想。因此涉及恒成立的問題越來越受到高考命題者的青睞。本文試將此類題的求解策略從四個方面進行小結。
　　關鍵詞： 高中數學 恒成立問題 求解策略
　　
　　恒成立問題一直是高中問題數學的重要內容。它是函數、數列、不等式等內容交匯處的一個較為活躍的知識點，在近幾年越來越受到高考命題者的青睞，有時在同一套試題中甚至有幾道這方面的題目。本文試將此類題的求解策略進行小結。
　　一、利用分類討論思想直接處理
　　例1：已知函數f（x）=x-2ax+4在區間［-1，2］上都不小于2，求a的取值范圍。
　　解：因為函數f（x）=x-2ax+4的對稱軸為x=a，所以必須考查a與jn7Yq76tq1dw0olt0F7ITw==-1，2的大小關系，顯然要分三種情況討論。
　　1．當a≥2時，f（x）在［-1，2］上是減函數，
　　此時f（x）= f（2）=4-4a+4≥2，
　　即a≤，
　　結合a≥2，所以a無解。
　　2．當a≤-1時，f（x）在［-1，2］上是增函數，
　　此時f（-1）=1+2a+4≤2，
　　f（x）=f（-1）=1+2a+4≥2，
　　結合a≤-1，
　　即-≤a≤-1。
　　3．當-1＜a＜2時，
　　f（x）= f（a）=a-2a+4≥2，
　　即-≤a≤，
　　所以-1＜a≤。
　　綜上1、2、3，滿足條件的a的范圍為：-≤a≤。
　　二、構造函數，利用單調性處理
　　例2：對于滿足|p|≤2的所有實數p，求使不等式x+px+1＞p+2x恒成立的x的取值范圍。
　　分析：多元不等式問題求解關鍵在于確定哪個量為主元。此問題由于常見的思維定勢，易把它看成關于x的不等式討論。然而若將p定位主元，則可轉化為在［-2，2］內關于p的一次函數大于0恒成立的問題。
　　解：不等式轉化為（x-1）p+x-2x+1＞0，
　　設f（p）=（x-1）p+x-2x+1，
　　則原題轉化為設f（p）=（x-1）p+x-2x+1＞0在［-2，2］上恒成立，
　　易得f（-2）＞0f（2）＞0，即x-4x+3＞0x-1＞0，
　　解得：x＞3或x＜1x＞1或x＜-1，
　　∴x＜-1或x＞3。
　　三、分離變量，借助不等式性質解決
　　例3：已知數列{a}中，a=6n-5（n∈N），設b=，T是數列{b}的前n項和，求使得T＜對所有n∈N都成立的最小正整數m。
　　分析：T＜恒成立?圳＞Tmax，問題轉化為求T的最大值。若求出T的最大值，則問題迎刃而解。
　　解：依題可知b===（-），
　　故Ｔ=b=［（1-）+（-）+…+（-）］
　　=（1-）。
　　易知（1-）＜.
　　∴ 要使（1-）＜（n∈N）恒成立，必須滿足≤，即m≥10.
　　例4：已知二次函數f（x）=ax+x+1對x∈［0，2］恒有f（x）＞0，求a的取值范圍。
　　解： 對x∈［0，2］恒有f（x）＞0即ax+x+1＞0，變形為ax＞-（x+1）
　　當x=0時對任意的a都滿足f（x）＞0，只須考慮x≠0的情況：
　　a＞，即a＞--
　　要滿足題意，只要保證a比右邊的最大值大就行。
　　現求--在x∈（0，2］上的最大值。
　　令t=，
　　∴t≥，
　　g（t）=-t-t=-（t+）+（t≥），
　　g（t）=g（）=-，
　　∴a＞-.
　　又∵f（x）=ax+x+1是二次函數，∴a≠0，
　　∴a＞-，且a≠0.
　　四、利用數形結合，直觀處理
　　例5：不等式（x-1）＜logx在x∈（1，2）上恒成立，求a的取值范圍。
　　分析：這種類型的不等式對高中學生來說直接求解是很困難的，所以一般來說采用數形結合的方法。
　　解：設y=（x-1），y=logx，如圖所示。
　　要使對一切x∈（1，2），y＜y恒成立，
　　顯然須a＞1， 且log2≥1。
　　∴1＜a≤2.