高中數(shù)學(xué)知識(shí)的變式教學(xué)實(shí)踐

　　摘 要： 本文簡(jiǎn)要介紹了變式教學(xué)的理論基礎(chǔ)，用實(shí)際教學(xué)中的兩個(gè)案例介紹了教學(xué)中的變式練習(xí)實(shí)踐。
　　關(guān)鍵詞： 變式 高中數(shù)學(xué)知識(shí) 變式教學(xué)
　　
　　變式是指變換問(wèn)題的條件或表征，而不改變問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，只改變其形態(tài)；變式是對(duì)于某種范式的變化形式，不斷變更問(wèn)題的情境或改變思維的角度，在保持事物的本質(zhì)特征不變的情況之下，事物的非本質(zhì)屬性不斷遷移的變化方式［１］。
　　在實(shí)際教學(xué)時(shí)，通過(guò)變式訓(xùn)練使學(xué)生深刻理解本質(zhì)屬性，排除事物的非本質(zhì)屬性的干擾，從而形成正確的概念，一直是數(shù)學(xué)教育研究的熱點(diǎn)；在習(xí)題方面，通過(guò)變式練習(xí)，使學(xué)生形成基本運(yùn)算和遷移知識(shí)的能力，最終達(dá)到提高學(xué)生能力的目的，也是教師們一直追求的目標(biāo)。
　　變式教學(xué)的理論基礎(chǔ)來(lái)自于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)論：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)被看成純粹的個(gè)人行為，也即對(duì)于知識(shí)的被動(dòng)接受和簡(jiǎn)單積累，而應(yīng)被看成個(gè)體在一定社會(huì)環(huán)境中的建構(gòu)活動(dòng)(意義賦予)，新、舊知識(shí)(和經(jīng)驗(yàn))的組織與重組，是形式建構(gòu)與“具體化”的辯證統(tǒng)一。真正的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)具有如下幾個(gè)特征：(1)在學(xué)習(xí)目標(biāo)方面，表現(xiàn)為對(duì)知識(shí)的深層次的理解；(2)在學(xué)習(xí)過(guò)程中，表現(xiàn)為高水平的思維；(3)在學(xué)習(xí)的情境方面，表現(xiàn)為師生，生生之間的充分溝通，合作［２］。在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，教師應(yīng)在肯定學(xué)生主體地位的前提下，在教學(xué)活動(dòng)中起主導(dǎo)作用，教師需要就學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)出有思考價(jià)值，符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，能激發(fā)學(xué)生興趣的問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)平等、自由的學(xué)習(xí)氛圍，充分開(kāi)展師生、生生之間的交流與合作學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)持續(xù)的分析、探索、假設(shè)、檢驗(yàn)去解決問(wèn)題，提升探究數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。
　　安德森將知識(shí)分為陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)。陳述性知識(shí)是關(guān)于“是什么”的知識(shí)，是對(duì)事實(shí)、定義、規(guī)則和原理等的描述。程序性知識(shí)則是關(guān)于“怎么做”的知識(shí)，如怎樣進(jìn)行推理、決策、或者解決某類問(wèn)題等［３］。喻平（2000）認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)的分類按照廣義的知識(shí)分類是合適的，他將數(shù)學(xué)知識(shí)分為陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)。學(xué)生的學(xué)習(xí)常常從陳述性知識(shí)的獲得開(kāi)始，而后進(jìn)一步加工消化，成為可以靈活、熟練應(yīng)用的程序性知識(shí)。
　　高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容跨度大、抽象性強(qiáng)，只有促進(jìn)高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解，才能達(dá)到掌握和靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的目的。人們對(duì)知識(shí)的深刻理解都具有一定的時(shí)空性、階段性和漸進(jìn)性，因此，只有在變化環(huán)境下反復(fù)理解，學(xué)生的認(rèn)識(shí)才能不斷深入。
　　在變式教學(xué)中，變式練習(xí)是陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化為程序性知識(shí)點(diǎn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。變式練習(xí)就是指在其他教學(xué)條件不變的情況下，概念和規(guī)則等程序性知識(shí)的例證的變化。變式練習(xí)可以讓學(xué)生在練習(xí)過(guò)程中，通過(guò)多角度的分析、比較、聯(lián)系，去深刻理解問(wèn)題的結(jié)構(gòu)和解決策略。下面通過(guò)兩個(gè)例子來(lái)談一下變式練習(xí)在實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用。
　　題目1：（高中數(shù)學(xué)新教材第二冊(cè)（上）P130 例2）直線y=x-2與拋物線y=2x相交于A、B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB。
　　本題是課本上一道習(xí)題，下面對(duì)其進(jìn)行變式探究。推廣變式：由原式知y=x-2與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），對(duì)拋物線y=2x中p=1，將此拋物線方程推向一般情況，則得到下列變式：
　　變式1：直線l過(guò)定點(diǎn)（2p，0），與拋物線y=2px（p＞0）交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，求證：OA⊥OB。
　　證明：設(shè)l的一般方程式為x=ky+2p，代入題目中的拋物線方程中，化簡(jiǎn)得到：y-2pky-4p=0，所以y+y=2pk，y·y=-4p，所以xx=（）=4p，所以·=xx+yy=0，所以⊥，即OA⊥OB。
　　如果我們將上題中的圖形中新加載另一個(gè)圖形圓，則可有下面的試題：
　　變式2：（2004年重慶高考理科卷）設(shè)p＞0是一常數(shù)，過(guò)點(diǎn)Q（2p，0）的直線與拋物線y=2px交于相異兩點(diǎn)A、B，以線段AB為直徑作圓H（H為圓心）。試證拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線AB的方程。
　　由變式1可知OA⊥OB，即點(diǎn)O在圓H上，因H為圓心，故H為AB的中點(diǎn)。由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以求出x=(x+x)=(4p+n(y+y))=(2+p)p，y=(y+y)=pn。
　　顯然OH為圓的半徑，且OH==，所以當(dāng)n=0時(shí)，圓的半徑最小。此時(shí)AB的方程為x=2p。
　　當(dāng)然我們還可以對(duì)此題進(jìn)行逆向研究，即將此題變式1的條件和結(jié)論進(jìn)行互換得到下列命題：
　　變式3：若A、B為拋物線y=2px(p＞0)上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OA⊥OB，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)。
　　過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題是一個(gè)高考中的熱點(diǎn)，而通過(guò)這樣的變式不僅讓學(xué)生的思維活躍起來(lái)，而且能引發(fā)學(xué)生去主動(dòng)地思考問(wèn)題和解決問(wèn)題。本題只要設(shè)出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)這兩點(diǎn)滿足拋物線方程和垂直的條件即可證明此問(wèn)題。對(duì)本問(wèn)題稍微改變一下設(shè)問(wèn)則可得到下面試題：
　　變式4：(2001春季高考題)設(shè)點(diǎn)A、B為拋物線y=4px（p＞0）上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡表示什么曲線。
　　解有上面的變式可知AB過(guò)定點(diǎn)N（4p，0），OM⊥AB?圯OM⊥MN，所以點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)N為直徑的圓（除原點(diǎn)），其方程也可求出。
　　思考：直線與圓錐的位置的關(guān)系問(wèn)題是多年來(lái)高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，該題以拋物線和直線為載體全面考查解析幾何的思想與方法，通過(guò)變式練習(xí)層層推進(jìn)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使得學(xué)生在知識(shí)和能力上有一定的收獲和提高。
　　題目2：（高中數(shù)學(xué)新教材第二冊(cè)（下A、B）P131 例2）在一段線路中并聯(lián)著3個(gè)自動(dòng)控制的常開(kāi)開(kāi)關(guān)，只要其中有一個(gè)開(kāi)關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作。假定在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開(kāi)關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率。
　　本題比較容易，但是我們可借助本題進(jìn)行如下變式探究：
　　將已知中的條件變形如下：
　　變式1：假設(shè)三個(gè)開(kāi)關(guān)全部串聯(lián)，在其余條件不變的情況下，怎樣求線路正常工作的概率？
　　解：設(shè)這三個(gè)開(kāi)關(guān)能閉合為事件A，B，C，則可求得概率為P(A)·P（B）·P（C）=0.7=0.343。
　　變式2：若其中2個(gè)開(kāi)關(guān)串聯(lián)后再與兩外一個(gè)并聯(lián)，在其余條件不變的情況下，如何求線路正常工作的概率？
　　假設(shè)三個(gè)開(kāi)關(guān)為M，M，M由已知M，M串聯(lián)，再與M并聯(lián)，則線路正常工作的概率為1-［1-P(A)·P（B）］·［1-P(C)］=1-（1-0.7）（1-0.7）=0.847。
　　變式3：若其中兩個(gè)開(kāi)關(guān)并聯(lián)后與另一個(gè)開(kāi)關(guān)串聯(lián)，在其余條件不變的情況下如何求線路正常工作的概率？
　　假設(shè)由已知并聯(lián)，再與串聯(lián)，則得
　　（1-［1-P(A)］［1-P（B）］)·P(C)=［1-（1-0.7）］0.7=0.637
　　變式4：（2001年天津高考理科卷）用A、B、C三類不同的元件聯(lián)結(jié)兩個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)元件A、B、C都能正常工作時(shí)，系統(tǒng)N能正常工作；當(dāng)元件A正常工作，元件B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N能正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率分別為0.8，0.9，0.9，分別求系統(tǒng)正常工作的概率。
　　可以看出這一例題是以上變式的綜合變形，這樣使得學(xué)生經(jīng)過(guò)類比、分析，不斷對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入理解。這種一題多變的變式教學(xué)能夠完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)。其實(shí)還可以深入進(jìn)行思考：
　　以上4個(gè)變式只是對(duì)3個(gè)開(kāi)關(guān)的連接，假設(shè)有4個(gè)或者多個(gè)呢？會(huì)有怎樣的情況發(fā)生？將上述題目題變成開(kāi)放式的問(wèn)題：
　　變式5：若該線路友4個(gè)開(kāi)關(guān)（串、并）聯(lián)結(jié)而成，已知每個(gè)開(kāi)關(guān)能夠閉合的概率都是0.8，若要求線路正常工作的概率（稱為可靠度）大于0.85，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)開(kāi)關(guān)的聯(lián)結(jié)方式。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分類討論思考。上題可分析共有7種聯(lián)結(jié)方式，詳情也請(qǐng)讀者思考。這里不再詳細(xì)贅述。
　　著名的教育家波利亞曾說(shuō)：“好問(wèn)題跟某種蘑菇有些像，它們都成堆生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，應(yīng)該在周圍再找找，很可能附近就有好幾個(gè)。”由此在數(shù)學(xué)教學(xué)中 ，若通過(guò)變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從一個(gè)問(wèn)題出發(fā)，運(yùn)用類比、特殊化，一般化的方法去探索問(wèn)題的變化，則能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，去揭示其中的數(shù)學(xué)思想。所以恰當(dāng)合理深入的變式教學(xué)使得課堂變得生動(dòng)活潑，學(xué)生愛(ài)學(xué)，老師樂(lè)教，這樣既有利于學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)，又有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］丁殿坤，邊平勇.變式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.高等函授學(xué)報(bào)，2010.
　　［2］謝景力.數(shù)學(xué)教學(xué)的變式及實(shí)踐研究［D］.2006.
　　［3］陳琦，劉儒德主編.當(dāng)代教育心理學(xué)（第2版）.北京師范大學(xué)出版社，2007.