函數(shù)的對稱性在高考題中的應(yīng)用

　　函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，也是高考考查的重點與熱點。圖像的對稱關(guān)系充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美，利用對稱性往往能簡捷地解決一些數(shù)學(xué)問題。下面以2009年的高考試題為例，介紹有關(guān)題型。
　　一、利用二次函數(shù)的對稱性
　　例1：（福建卷）函數(shù)f（x）=ax+bx+c（a≠0）的圖像關(guān)于直線x=-對稱，據(jù)此可推測，對任意的非零實數(shù)a、b、c、m、n、p關(guān)于x的方程m［f（x）］+nf（x）+p=0的解集不可能是（）.
　　A.{1，2}B.{1，4} C.{1，2，3，4}D.{1，4，16，64}
　　命題立意：本題主要考查函數(shù)的對稱性與方程的根的內(nèi)容。
　　解析：由于f（x）的圖像關(guān)于直線x=-對稱，那么方程f（x）=0的根就關(guān)于直線x=-對稱，從而方程m［f（x）］+nf（x）+p=0的根也應(yīng)是關(guān)于直線x=-對稱的。據(jù)此，若解集為{1，2}，則f（x）的圖像關(guān)于直線x=對稱，從而排除A；若解集為{1，4}，則f（x）的圖像關(guān)于直線x=對稱，從而排除B；若解集為{1，2，3，4}，則f（x）的圖像關(guān)于直線x=對稱，從而排除C；故選D。
　　二、利用f（x）的圖像關(guān)于x=a的對稱性
　　例2：（山東卷）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且在區(qū)間［0，2］上是增函數(shù)，若方程f（x）=m（m＞0）在區(qū)間［-8，8］上有四個不同的根x、x、x、x，則x+x+x+x?搖?搖?搖?搖.
　　命題立意：本題是函數(shù)圖像關(guān)于直線x=2對稱的性質(zhì)的綜合運用，考查代數(shù)推理能力，考查分析問題，解決問題的能力及數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法。
　　解析：由f（x-4）=-f（x）可得f（4-x）=f（x），故函數(shù)圖像關(guān)于直線x=2對稱，又函數(shù)f（x）在［0，2］上是增函數(shù)，且為奇函數(shù)，故f（0）=0，故函數(shù)f（x）在（0，2］上大于0，根據(jù)對稱性知函數(shù)f（x）在［2，4）上大于0.同理可推知函數(shù)f（x）在（4，8）上小于0.故在區(qū)間（0，8）上方程f（x）=m（m＞0）的兩根關(guān)于直線x=2對稱.故此兩根之和等于4.根據(jù)f（x-4）=-f（x）及f（x-8）=-f（x-4）=f（x）可知函數(shù)f（x）以8為周期，故在區(qū)間（-8，0）上方程f（x）=m（m＞0）的兩根關(guān)于直線x=-6對稱，此兩根之和等于-12，綜上，四個根之和為-8.
　　三、利用奇（偶）函數(shù)的對稱性
　　例3：（遼寧卷）已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，+∞）上單調(diào)增加，則滿足f（2x-1）＜f（）的x取值范圍是（）。
　　A.（，） B.［，）C.（，）D.［，）
　　命題立意：本小題主要考查偶函數(shù)圖像的對稱性、單調(diào)性和抽象函數(shù)比較大小的問題。本題的難點在于能否體會到偶函數(shù)圖像的對稱性和單調(diào)性，從而得到距離對稱軸越遠，則對應(yīng)的函數(shù)值越大的結(jié)論。
　　解析：由題意可知|2x-1|＜，解得＜x＜，故選A。
　　四、利用三角函數(shù)的對稱性
　　例4：（全國卷Ⅰ）如果函數(shù)y=3cos（2x+?準）的圖像關(guān)于點（，0）中心對稱，那么|?準|的最小值為（）。
　　A.B.C. D.
　　命題立意：本小題中的函數(shù)y=3cos（2x+?準）的對稱中心是其圖像與x軸的所有交點，由此可得出關(guān)于?準的方程，進而確定|?準|的最小值。
　　解析：依題意可得3cos（+?準）=0，+?準=kπ+，?準=kπ-，（k∈z），因此|?準|的最小值是，選A。
　　例5：（天津卷（文））已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期為π，將y=f（x）的圖像向左平移|φ|個單位長度，所得圖像關(guān)于y軸對稱，則φ的一個值是（）。
　　A. B. C. D.
　　命題立意：本小題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的周期性、對稱性、奇偶性及圖像的變換等知識點，綜合性較強。
　　解析：由最小正周期為π得ω=2，于是y=sin（2x+），其圖像向左平移|?準|個單位長度后所對應(yīng)的函數(shù)的解析式為y=sin（2x++2|?準|），由于該函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，所以它是偶函數(shù)，所以+2|?準|=kπ+，k∈Z，所以|?準|=+，k∈Z，故選D。
　　總之，函數(shù)的對稱性還有很多，在此不一一列舉。希望大家在解題中注意總結(jié)，以提高分析問題和解決問題的能力。