最值求解方法例談

　　在實踐生活中，最值問題經常遇到，怎樣確定最值題求解的最佳方法，使實際生活生產中，遇到的消耗最低，產值最高等問題得到很快解決呢？本文以實際例子談談這方面的解法，以使同學們能很快掌握解決這一問題的基本技能和基本思想方法.
　　一、配方法求最值
　　所謂配方法求最值，就是將實際問題轉化成二次三項式，再應用配方法求出最值.
　　例1：（2010年安徽中考題）春節期間某水庫養殖場為適應市場需求，連續用20天時間，采用每天降低水位以減少捕撈成本的辦法，對水庫中某種鮮魚進行捕撈銷售，九（1）班數學建模興趣小組根據調查，整理出第x天（1≤x≤20且x為整數）的捕撈與銷售的相關信息如下：
　　（1）在此期間該養殖場每天的捕撈量與前一天的捕撈量相比是如何變化的？
　　（2）假定該養殖場每天捕撈和銷售的鮮魚沒有損失，且能在當天全部售出，求第x天收入y（元）與x（天）之間的函數關系式.（當天收入=日銷售額-日捕撈成本）
　　（3）試說明（2）中的函數y隨x的變化情況，并指出在第幾天y取得最大值，最大值是多少？
　　解析：（1）該養殖場每天的捕撈量與前一天的捕撈量相比減少了10kg.
　　（2）由題意，得y=20×（950-10x）-（5-）（950-10x）
　　=-2x+40x+14250
　　（3）∵-2＜0∴y=-2x+40x+14250=-2（x-10）+14450
　　又1≤x≤20時，且x為整數，∴當1≤x≤10時，y隨x增大而增大，當10＜x≤20時，y隨x的增大而減小.當x=10時，即在第10天，y取得最大值，最大值為1450元.
　　二、二次函數頂點坐標式求最值
　　本法即為將實際問題轉化成一元二次函數的形式，再用頂點坐標求最值.
　　例2：（2010年武漢市中考題）某賓館有50個房間供游客住宿，當每個房間的房價為每天180元時，房間會全部住滿.當每個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閑，賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費用，根據規定，每個房間每天的房價不得高于340元，設每個房間的每天房價增加x元（x為10的整數倍）.
　　（1）設一天訂住的房間數為y，直接寫出y與x的關系式及自變量x的取值范圍；
　　（2）設賓館一天的利潤為w元，求w與x的函數關系；
　　（3）一天訂住多少房間時，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元？
　　解析：（1）y=50-x（0＜x≤160，且x是10的正整數倍）
　　（2）w=（50-x）（180+x-20）=-x+34x+8000
　　（3）w=-x+34x+8000，應用頂點-=170，當x＜170時，y隨x增大而增大，但0＜x≤160，∴當x=160時，w=10880，y=50-x=34.
　　答：一天訂住34個房間，賓館每天利潤最大，最大利潤10880元。
　　三、判別式法求最值
　　此法即為將實際問題或數字式子經變化轉化成一元二次方程的形式，再利用判別式求最值。
　　例3：設a，b為實數，則a+ab+b-a-2b的最小值是?搖?搖?搖?搖.
　　解析：設y=a+ab+b-a-2b.
　　變形整理為a（b-1）a+（b-2b-y）=0.
　　利用判別式△=（b-1）-4（b-2b-y）≥0.
　　即-3b+6b+1+4y≥0.
　　∴4y≥3（b-1）-4≥-4.
　　∴y≥-1，此時b=1，a=0.
　　∴答案為-1.
　　評注：特殊性存放于一般性之中，此類題目一般可設y=ax+bx+c，然后移項整理，再利用判別式求值，即可迎刃而解.
　　四、不等式求最值
　　例4：某工廠以每噸3000元購進50噸原料加工，若加工成半成品，每噸加工費為600元，需天，每噸售價4000元；若加工成成品，每噸加工費為900元，需天，每噸售價為4500元，現將50噸原料全部加工完.
　　（1）設其中加工半成品x噸，獲利y元，求y與x的關系式（不要求寫自變量的范圍）.
　　（2）如果必須在20天內完成，如何安排生產才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？
　　解析：加工半成品x噸，則加工為成品的是（50-x）噸，半成品每噸利潤為（4000-3000）元；加工成成品每噸利潤為（4500-3000）天.
　　y=（4000-3000）x-600x+（4500-3000）（50-x）-900（50-x）
　　=-200x+30000
　　由題意得：x+（50-x）≤20，得x≥30
　　∴30≤x≤50.
　　當x=30時，最大值y=-200×30+30000=24000（元）
　　故加工成半成品=10（天）.
　　加工成成品=10（天）.
　　所以10天加工成半成品，10天加工成成品可獲得最大利潤，最大利潤是24000元。
　　評注：利用此種方法簡單明白，學生容易掌握.