《數值分析》教學改革探討

　　摘要： 本文從教材的選取，內容的取舍，備課上課過程，引導學生實驗，以及考試改革等方面對數值分析課程的教學改革進行了探討。
　　關鍵詞： 《數值分析》 教學改革 經驗
　　
　　1.引言
　　數值分析（又叫數值計算、數值方法等）是數學研究的重要內容之一。隨著計算機的發展，原有的數學應用已經不能滿足科技發展的需要。在計算機上用數值方法進行科學計算，已經成為與理論分析、科學實驗等同等重要的研究課題。數值分析是一門將理論與實踐完美結合的學科，它既強調計算機應用，更注重算法思想及與工程實際的結合。數值分析課程教學應圍繞這些特點，要求學生掌握常用數值計算方法理論，能應用所講的不同方法編程計算不同的實際問題，并能夠對這些算法進行誤差分析。
　　然而，目前數值分析的教學效果并不太理想。我們從多年的教學經驗中總結了以下經驗，倡導師生共同努力，增強效果。
　　2.選取合適的教材
　　信息與計算科學專業的學生，一個普遍的問題是數學基礎不扎實，而數學與應用數學專業的學生，他們的編程能力又不及信息與計算科學專業的學生。所以教材的選取應該根據不同專業的特點選擇合適的教材。現在出版的數值分析方面的教材很多，如施吉林的《計算機數值方法》，內容全面，對于一些常用算法有算法設計的講解和MATLAB的實驗程序；華中科技大學出版的《計算方法》，對于基本內容做了深入淺出的介紹；電子工業出版的《科學計算引論》，以及機械工業出版的《MATLAB數值計算》給出了許多算法的MATLAB程序。
　　對于基礎較好的學生，要求較高的學校可以考慮選擇一些原版英文教材或國外優秀教材的翻譯版，如由美國Richard L.Burden所著的NumericalAnalysis，或馮煙利等的翻譯版，教材內容全面，算法設計部分講解非常詳細，且教材網站上提供了所有本課程算法的MATLAB程序和C程序，選用這樣的教材，對于基礎較好的學生能夠達到更好的教學效果。［１］
　　3.合理選擇上課內容
　　由于課時數的限制，教師應依據教學大綱精心選擇教學內容，將其分為細講內容和略講內容。細講的內容要講透徹，略講的內容要將本質性的內容提示到位，引導學生自學。在實驗上機不能完成任務的情況下，學生可以通過自由上機來解決。
　　我們認為無論對內容如何選取，下列內容必須詳細講解。
　　誤差理論；二分法、迭代法、Newton法解非線性方程；Gauss消元法、三角分解法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法解線性方程組；Lagrange插值、Newton插值、三次樣條插值；曲線擬合的最小二乘法；Newton-Cotes公式求數值積分；Euler法、Runge-Kutta法求常微分方程初值問題的數值解法。
　　4.認真備課
　　備課充分是上好課的保證，只有認真備課才能在講臺上自由發揮，才能在授課時候超常發揮。對于使用多媒體教學的教師，要認真準備課件，提高學生的興趣。在備課時，建議加入一些數學家的趣文逸事。比如，在講到Newton法的時候，可以給學生講解一下牛頓的故事；在講到Gauss消元法時，可以講解一下Gauss。
　　5.掌握上課技巧
　　教師上課時，要盡量調動學生的積極性。每次課開始前，可以利用5分鐘左右回顧上節課的大體內容，加深學生對所學知識的理解；然后利用問題，引導學生跟著自己思路前進；臨近下課時，還可以引導學生了解下次課準備解決的問題。
　　比如，要講Newton法解非線性方程時，先回顧一般迭代法的思想，一般迭代法將f（x）=0等價變形為x=φ（x）時，對φ（x）有一定的限制條件，針對這樣的限制，要想找到合適的φ（x）是不容易的。因此，我們需要一種方法，能夠比較迅速地找出φ（x）。Newton迭代公式能夠快速給出這樣的φ（x）。很自然地，就引出了Newdon迭代法。然后課堂上對其進行詳細講解。臨近下課時，我們講解到Newdon迭代法的缺點，它的一個缺點是每步迭代都需要求導數，增加了計算量。那能不能避免求導數呢？可以，如果將切線換成割線，就得到割線法。這是我們下次課要講的割線法。
　　6.實驗課以引導為主
　　要學好本課程，必須重視實驗過程。由于現在大部分學校的實驗課時非常有限，因此如何組織實施實驗過程是非常關鍵的。在學期一開始，就應該將本學期需要做的所有實驗題目展示給學生，讓學生在實驗開始前就思考分析如何設計算法、如何用計算機程序實現、結果誤差如何，從而提高學生的思考能力，培養其利用所學知識分析問題和解決問題的能力。
　　實驗課上，教師可以針對學生做出的結果引導學生繼續思考。比如，一次上課，有學生利用一般迭代法得到某練習題迭代次數為17次。我問：“能不能用其他你認為更好的方法在保證結果更精確的前提下，減少迭代次數？因為計算機每計算一步都帶有誤差，迭代次數越多，誤差可能越大。”這立刻引起了學生的極大興趣。
　　7.將實際問題納入課后作業
　　比如，當學習完Euler法解常微分方程的初值問題的數值解時，可以布置如下的作業題。
　　練習1［2］：質量為M kg的人在t=0時刻從飛機上跳出，假設初始時刻的垂直速度為0。為了簡化問題，設跳傘者垂直下落。空氣阻力為F=C，其中C為常數，v為垂直速度，向下方向為正。寫出其速度微分方程。
　　練習2［2］：假設M=70kg，C=0.27kg/m，取h=0.1s。求出練習1中跳傘者的速度表達式，并畫出t≤20s的解的圖形。
　　8.改革考試方式
　　我們認為傳統的閉卷考試不一定能考出考生真實的水平和能力，應當逐漸被更好的方式取代。目前，我們的考試是這樣的。
　　（1）基礎知識、基本理論的考核還是閉卷，主要考查考生對數值分析思想的了解程度。這部分成績占總成績的60%。
　　（2）實驗課程的考核采取“大作業”的格式，將學生分為若干組，每組有三四個學生，每組完成一個指定的題目。時間限制在一周之內。這樣可以訓練學生的團體協作能力，而且這樣的訓練對學生參加數學建模是很有幫助的。這部分成績占20%。
　　（3）另外平時作業和實驗報告成績占20%。
　　9.結語
　　數值分析課程的教學改革是一個長期的實踐過程。只有不斷地摸索和嘗試，不斷地積累和總結經驗，才能找到一種適合于自己的教學方法。我們從教材的選取，內容的取舍，備課上課過程，引導學生實驗，以及考試改革等方面對本門課程的教學改革進行了探討，希望能夠起拋磚引玉的作用。
　　
　　參考文獻：
　　［1］延飛波，蘭潔玲，劉芬.數值分析課程教學實踐和思考［J］.科技資訊，2009，（15）：196-196.
　　［2］Shoechiro Nakamura著.梁恒等譯.科學計算引論——基于MATLAB的數值分析（第二版）［M］.北京：電子工業出版社，2003.