對邊疆預科學生極限概念教學的探討

　　摘 要： 作者通過分析極限教學，使用“ε-N”“ε-δ”、“ε-M”語言來闡述如何運用數學語言來進行教學，并且在分析高等數學中極限概念的教學難點的基礎上，給出了克服教學難點的教學方法。
　　關鍵詞: 邊疆預科學生 極限概念教學 教學難點
　　
　　數列、函數極限的概念是高等數學中最基本、最重要的概念之一.導數、微分、不定積分等基本概念都建立在這一概念的基礎上.函數極限的概念是學習高等數學首先遇到的較難理解的概念，正確理解、掌握函數極限的一系列概念是學好高等數學的關鍵.新疆、西藏籍學生，受母語影響較大，因此對極限概念的理解難度也較大.認真研究、深入探討函數極限概念的教學良策是確保高等數學教學質量的前提.本文在分析教學難點的基礎上，從引導學生正確理解函數極限定義入手，給出突破難點的一些教學方法.
　　1.數列極限概念的教學難點
　?。?）給出一批有極限的數列，考察這些具體的數列的變化趨勢，分析歸納出它們的共同本質——通項無限接近某個常數A（盡管方式不同），再給出一些沒有極限的發散數列，它們不具有上述特性，即不能與任一實數無限接近，從中得出用普通語言敘述的收斂概念:給定數列{u}，如果當n充分大時，u無限接近某個常數A，則稱A為數列{u}的極限，稱{u}為收斂數列，否則，稱{u}為發散數列.
　?。?）啟發學生考慮如何用數學語言精確地描述“充分大”，“接近”，“無限接近”等變化過程，尤其是“無限接近”這一動態變化的數學描述，可充分利用數軸、絕對值，距離等工具，在此基礎上提出用“ε-N極限”語方來精確描述極限過程和收斂概念:對于任意給定的正數ε（不管它多么小），總存在一個正整數N，當n＞N時，恒有|u-A|＜ε，則常數A叫做數列{u}當n趨向于無窮時的極限.或說數列收斂于A.記作：u=A，或u→A（n→∞）.此時，稱數列{u}為收斂數列，否則稱{u}為發散數列.
　　在這一階段中，主要是通過記憶和模仿以代償思維能力的不足，達到對極限概念的初步認識.
　　2.函數極限概念的教學難點
　?。?）基本概念.
　　定義1：如果對于?坌ε＞0，總?堝M＞0，當x＞M時，有|f（x）-A|＜ε，
　　則常數A為函數f（x）當x→+∞的極限.記作：f（x）=A.
　　定義2：如果對于?坌ε＞0，總?堝M＞0，當x＜-M時，有|f（x）-A|＜ε，
　　則常數A為函數f（x）當x→-∞的極限.記作：f（x）=A.
　　定義3：如果對于?坌ε＞0，總總?堝N＞0，當|x|＞N時，有|f（x）-A|＜ε，
　　則常數A為函數f（x）當x→∞的極限.記作：f（x）=A.
　　定義4：函數f（x）在x點附近（但可能除掉x點本身）有定義，若對于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，當0＜|x-x|＜δ（x∈U（x，δ））時，有|f（x）-A|＜ε，則稱A是函數f（x）當x→x的極限，
　　記作：f（x）=A.
　　定義5：函數f（x）在［x，x+δ）（也有可能要除掉x點本身）有定義，若對于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，當0＜x-x＜δ時，有|f（x）-A|＜ε，則稱A是函數f（x）當x→x的右極限，
　　記作：f（x）=A或f（x+0）=A（當x→x）或f（x）→A（當x→x）.
　　定義6：函數f（x）在（x-δ，x］（也有可能要除掉點x本身）有定義，若對于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，當-δ＜x-x＜0時，有|f（x）-A|＜ε，則稱A是函數f（x）當x→x的左極限，
　　記作：f（x）=A或f（x-0）=A（當x→x）或f（x）→A（當x→x）.
　　f（x）=A的幾何意義如下:
　　對于?坌ε＞0，作兩條直線y=A+ε，y=A-ε，總存在x的一個δ鄰域（除x外），在此鄰域內函數y=f（x）的圖形落在這兩條直線之間.
　　f（x）=A的幾何意義如下：
　　對于?坌ε＞0，作兩條直線y=A，y=A+ε，總存在x的一個δ鄰域（x，x+δ）（除x外），在此鄰域內函數y=f（x）的圖形落在這兩條直線之間.
　　f（x）=A的幾何意義如下:
　　對于?坌ε＞0，作兩條直線y=A-ε，y=A，總存在x的一個δ鄰域（x-δ，x）（除x外），在此鄰域內函數y=f（x）的圖形落在這兩條直線之間.
　　f（x）=A的幾何意義如下：
　　對于?坌ε＞0，作兩條直線y=A+ε，y=A-ε，總存在一個區間［-M，M］，在此區間內函數y=f（x）的圖形落在這兩條直線之間.
　?。?）在極限概念教學過程中，應把握從具體到一般原則.
　　極限定義難以理解、掌握的原因在于:定義中涉及“任意”、“給定”、“無限接近”、“存在”、“趨向”等比較抽象的術語.定義的敘述繁長、文字符號很多，如ε、δ、M等，且它們之間的數量關系錯綜復雜，學生難以掌握.對ε的作用和任意性、給定性，以及ε和N、M、δ間的依賴性，學生不易搞清，對“ε-δ”、“ε-M”極限語言容易混淆.
　　抽象性思維能力是分析問題和解決問題能力中最重要的部分，是數學本身“高度抽象性與應用廣泛性”辯證統一的必然結果.抽象思維能力的培養是發展創造性思維的前提.由具體到抽象是人們認識事物比較普遍的思維過程，而具體如何飛躍到抽象呢?一般步驟是，提出問題，誘發思考，讓學生逐步領會把實際問題抽象為數學問題的思路和方法，引導學生把問題的特征、本質抽象出來，加以綜合概括.
　　3.克服教學難點的方法
　　為了克服以上教學難點，我們可從以下幾點入手.
　　（1）正確運用“ε-N”“ε-X”“ε-δ”三種語言.對于這三種語言，有的同學提出什么時候應用哪種語言搞不清，其實搞明白以下兩個問題，這個難點就會迎刃而解.
　?、佟唉?N”語言用于數列極限，求解過程是對于任意給定的ε，通過不等式|μn-A|＜ε找到正整數N;而“ε-X”或“ε-δ”適用于函數極限，對于任意給定的ε＞0，通過不等式|f（x）-A|＜ε找到正數δ或X.
　?、凇唉?X”和“ε-δ”語言的區別在于自變量x的變化趨勢不同.前者適用于x→∞時的函數極限情形，后者適用于x→x時的函數極限情形.
　　（2）講清極限定義中“ε”的任意性、給定性及其對N、X、δ的依賴性，從而刻畫ε的作用，在極限定義中有“如果對于任意給定的正數ε”這一句話，很多學生不理解，為什么ε是任意的而同時又是給定的呢?因為只有ε是任意的，不等式|f（x）-A|＜ε才能刻畫出函數f（x）與常數A無限接近的意思;而ε又是給定的，如果ε不是給定的就無法確定δ（或N或X）的存在性.其實，給定一個ε就存在一個δ（或N或X），它們是對應的關系.δ（或N或X）是依賴ε而存在的，它們之間具有依賴性.另外，要交代清楚“ε”是任意小的正數，即定義中的“無論ε多么小”，意思就是:ε是“要多小就有多小，想多小就多小”的正數.
　　注重直觀教學、啟發式教學、漸進式教學及實踐教學有機結合的方式.如我們在高等數學中講授新內容時，一定要用直觀，易懂的實例進行解釋說明.每一個概念和結論，再從一個概念或結論得到啟發，引導學生思考更廣而深入的問題，從而對數學概念和結論有深刻的理解（我們稱這種教學為抓點）；講授新內容之前回憶復習上節的主要內容，課堂結束前，總結該節的內容，并預示下一節的內容；一段內容結束（如一章內容）之后，整體上再總結歸納這一大段中的主要內容，突出重點，加強影響，將前后內容連貫起來.這種往復式（循序漸進式）的有效總結和歸納對學生培養良好學習習慣是非常重要的（我們稱這一過程為提串），這一過程應貫穿教學整個過程.理論總結的同時針對每一個概念、結論和針對作業中存在的問題，做大量的具體題目的講解，及時解決問題和給予提醒.再加強學生的作業質量，要求學生獨立，足量完成.這部分工作主要在習題課上和作業中完成.一些主要概念和方法可以通過做實驗的方式進行：整個高等數學課結束之后，再進行一次總復習，這部分主要用課堂教學，完成綜合性比較好的數學實驗題目的結合進行（這兩部分是實踐教學）.這樣學生不僅能鞏固已學過的高等數學內容，提高高等數學水平，還能鍛煉科學思維方式，提高用數學和計算機解決實際問題的能力，養成良好的學習方法等，進行有益的實踐鍛煉。教學經驗顯示，以上談到的逐步、多層次重疊式（循序漸進式）教學和學習（我們稱抓點提串循序漸進再實踐的學習方法），對增強預科高等數學教學效果有很好的作用，成效顯著.
　　總之，函數極限概念是所有學習高等數學的學生接觸的第一個最基本的概念，也是高等數學中一個較難理解的概念.在極限概念的教學過程中，應注意由直觀到抽象，由特殊到一般，由舊引新，進而有效地分散難點，以便突破難點.
　　
　　參考文獻：
　?。?］華東師范大學數學系.數學分析［M］.北京:高等教育出版社，1991.
　?。?］李英.淺析數學教育中應培養的數學概念［J］.數學通報，1988，（1）.
　　［3］同濟大學數學教研室.高等數學［M］.高等教育出版社，2003，264-278.
　　
　　本文為湖南省教改項目“少數民族本科預科課程教學定位的研究與實踐”（湘教通〔2009〕321號）的成果。