8個算術游戲讓你立刻愛上數學

　　也許你經常問，數學到底哪里有趣了，數學之美又在哪里？看完下面8個老少咸宜的算術問題，或許從小數學就不及格的你也能夠喜歡上這門充滿樂趣的學科。
　　數字黑洞6174
　　任意選一個四位數（數字不能全相同），把所有數字從大到小排列，再把所有數字從小到大排列，用前者減去后者得到一個新的數。對新得到的數重復進行上述操作，7步以內必然會得到6174。
　　例如，選擇四位數6767：
　　7766-6677=1089
　　9810-0189=9621
　　9621-1269=8352
　　8532-2358=6174
　　7641-1467=6174……
　　6174這個“黑洞”就叫做Kaprekar常數。對于三位數，也有一個數字黑洞——495。
　　3x+1問題
　　從任意一個正整數開始，重復對其進行下面的操作：如果這個數是偶數，把它除以2；如果這個數是奇數，則把它擴大到原來的3倍后再加1。你會發現，序列最終總會變成4，2，1，4，2，1??的循環。例如，所選的數是67，那么，
　　67，202，101，304，152，76，38，19，58，29，88，44，22，11，34，17，52，26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1，4，2，1……
　　數學家們試了很多數，沒有一個能逃脫“421陷阱”。但是否對于所有的數，序列最終總會變成421循環呢？乍看之下，問題非常簡單，但至今仍沒有人能夠證明。
　　特殊兩位數乘法的速算
　　如果兩個兩位數的十位相同，個位數相加為10，那么你可以立即說出這兩個數的乘積：AB和AC乘積的前兩位就是A和A+1的乘積，后兩位就是B和C的乘積。比如，47和43的十位數相同，個位數之和為10，因而它們乘積的前兩位就是4×(4+1）=20，后兩位就是7×3=21。也就是說，47×43=2021。類似的，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，等等。這個速算方法背后的原因是，（10x+y）［10x+（10-y）］=100x（x+1）+y（10-y）對任意x和y都成立。
　　196算法
　　一個數正讀反讀都一樣，我們就把它叫做“回文數”。隨便選一個數，不斷加上把它反過來寫之后得到的數，直到得出一個回文數為止。例如，所選的數是67，兩步就可以得到一個回文數484：67+76=143，143+341=484。
　　把69變成一個回文數則需要四步：69+96=165，165+561=726，726+627=1353，1353+3531=4884。
　　89的“回文數之路”則特別長，要到第24步才會得到第一個回文數，8813200023188。
　　不過，196卻是一個相當引人注目的例外。數學家們已經用計算機算到了3億多位數，都沒有產生過一次回文數。196究竟特殊在哪兒？這至今仍是個謎。
　　Farey序列
　　選取一個正整數n。把所有分母不超過n的最簡分數找出來，從小到大排序。這個分數序列就叫做Farey序列。在Farey序列中，對于任意兩個相鄰分數，先算出前者的分母乘以后者的分子，再算出前者的分子乘以后者的分母，則這兩個乘積一定正好相差1。這個定理有從數論到圖論的各種證明。
　　唯一的解
　　經典數字謎題：用1到9組成一個九位數，使得這個數的第一位能被1整除，前兩位組成的兩位數能被2整除，前三位組成的三位數能被3整除，以此類推，一直到整個九位數能被9整除。
　　沒錯，真的有這樣猛的數：381654729。其中3能被1整除，38能被2整除，381能被3整除，一直到整個數能被9整除。這個數既可以用整除的性質一步步推出來，也能利用計算機編程找到。在所有由1到9所組成的362880個不同的九位數中，它是唯一一個滿足要求的數。
　　數在變，數字不變
　　123456789的兩倍是246913578，正好又是一個由1到9組成的數字。
　　246913578的兩倍是493827156，正好又是一個由1到9組成的數字。
　　把493827156再翻一倍，987654312，依舊恰好由數字1到9組成的。
　　把987654312再翻一倍的話，將會得到一個10位數1975308624，它里面仍然沒有重復數字，恰好由0到9這10個數字組成。
　　再把1975308624翻一倍，這個數將變成3950617248，依舊是由0到9組成的。
　　不過，這個規律卻并不會一直持續下去。繼續把3950617248翻一倍將會得到7901234496，第一次出現了例外。
　　三個神奇的分數
　　1/49化成小數后等于0.0204081632……把小數點后的數字兩位兩位斷開，前五個數依次是2、4、8、16、32，每個數正好都是前一個數的兩倍。
　　100/9899等于0.01010203050813213455……兩位兩位斷開后，每一個數正好都是前兩個數之和。
　　而100/9801則等于0.0102030405060708091011121314151617181920212223……利用組合數學中的“生成函數”可以完美地解釋這些現象的產生原因。
　　邱志凱//摘自果殼網，樊曉鎮/圖