帶電粒子在磁場中運動問題

【摘 要】帶電粒子在磁場中的運動是高考的重點和熱點，加之洛侖茲力的應用涉及當今許多高科技的實驗裝置：速度選擇器、質譜儀、粒子回旋加速器、磁流體發電……。在強調試題要聯系實際的今天，更賦予了新的熱點含義。帶電粒子在有界磁場中的運動類的綜合性問題更能考察學生的分析和綜合應用能力，因此受到命題專家的青睞。

【關鍵詞】帶電粒子 磁場 運動 軌跡

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2011）09－0182－02

帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動問題，其本質是平面幾何知識與物理知識的綜合運用。重要的是正確建立完整的物理模型，畫出準確、清晰的運動軌跡。

帶電粒子進入有邊界的磁場，由于邊界條件的不同，而出現臨界狀態的臨界問題：如帶電粒子恰好不能從某個邊界射出磁場，可以根據邊界條件確定粒子的軌跡、半徑、在磁場中的運動時間等。如何分析這類相關的問題是本文所討論的內容。

一 帶電粒子在有界磁場中運動的分析方法

1．圓心的確定

因為洛倫茲力F指向圓心，根據F⊥v，畫出粒子運動軌跡中任意兩點（一般是射入和射出磁場兩點），先作出切線找出v的方向再確定F的方向，沿兩個洛倫茲力F的方向畫其延長線，兩延長線的交點即為圓心，或利用圓心位置必定在圓中一根弦的中垂線上，作出圓心位值，見圖1。

2．半徑的確定和計算

利用平面幾何關系，求出該圓的可能半徑（或圓心角），并注意以下兩個重要的幾何特點：

第一，粒子速度的偏向角φ等于轉過的圓心角α，并等于AB弦與切線的夾角（弦切角）θ的2倍，即φ＝α＝2θ。見圖2。

第二，相對的弦切角θ相等，與相鄰的弦切角θ′互補，即θ＋θ′＝180°。

若要計算轉過任一段圓弧所用的時間，則必須確定粒子轉過的圓弧所對的圓心角，利用圓心角α與弦切角的關系，或者利用四邊形內角和等于360°計算出圓心角α的大小，并由表達式t＝α/2π*T，確定通過該段圓弧所用的時間，其中T即為該粒子做圓周運動的周期，轉過的圓心角越大，所用時間t越長，注意t與運動軌跡的長短無關。

4．帶電粒子在兩種典型有界磁場中運動情況的分析

第一，穿過矩形磁場區：一定要先畫好輔助線（半徑、速度及延長線）。見圖3。

（1） 帶電粒子在穿過磁場時的偏向角由sinθ＝L/R求出；

（2）帶電粒子的側移由R2＝L2－（R－y）2解出；（y見圖標）

（3）帶電粒子在磁場中經歷的時間由t＝mθ/Bq得出。

第二，穿過圓形磁場區：如圖4所示，畫好輔助線（半徑、速度、軌跡圓的圓心、連心線）。

二 帶電粒子在有界磁場中運動類型的分析

1．給定有界磁場

第一，確定入射速度的大小和方向，判定帶電粒子出射點或其他。如題目給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射點和出射點，求該粒子的電量和質量之比，也可以倒過來分析，求出射點的位置。在處理這類問題時重點是畫出軌跡圖，根據幾何關系確定軌跡半徑。

第二，確定入射速度的方向，而大小變化，判定粒子的出射范圍。如題目給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度的方向，由于入射速度的大小發生改變，從而改變了該粒子運動軌跡半徑，導致粒子的出射點位置變化。在處理這類問題時重點是畫出臨界狀態粒子運動的軌跡圖，再根據幾何關系確定對應的軌跡半徑，最后求解臨界狀態的速率。

第三，確定入射速度的大小，而方向變化，判定粒子的出射范圍。給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度的大小，其對應的軌跡半徑也就確定了。但由于入射速度的方向發生改變，從而改變了該粒子運動軌跡圖，導致粒子的出射點位置變化。在處理這類問題時重點是畫出臨界狀態粒子運動的軌跡圖（對應的臨界狀態的速度的方向），再利用軌跡半徑與幾何關系確定對應的出射范圍。

2．給定動態有界磁場

第一，確定入射速度的大小和方向，判定粒子出射點的位置。給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度的大小和方向，但由于有界磁場發生改變（包括磁感應強度的大小或方向的改變），從而改變了該粒子在有界磁場中運動的軌跡圖，導致粒子的出射點位置變化。在處理這類問題時重點是畫出磁場發生改變后粒子運動的軌跡圖，再利用軌跡半徑與幾何關系確定對應的出射點的位置。

第二，確定入射速度和出射速度的大小和方向，判定動態有界磁場的邊界位置。給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度和出射速度的大小和方向，但由于有界磁場發生改變（磁感應強度不變，但磁場區域在改變），從而改變了該粒子在有界磁場中運動的軌跡圖，導致粒子的出射點位置變化。在處理這類問題時重點是畫出磁場發生改變后粒子運動的軌跡圖，確定臨界狀態的粒子運動軌跡圖，再利用軌跡半徑與幾何關系確定對應的磁場區域的位置。

綜上所述，運動的帶電粒子垂直進入有界的勻強磁場，若僅受洛侖茲力作用時，它一定做勻速圓周運動。這類問題雖然比較復雜，但只要準確地畫出運動軌跡圖，并靈活運用幾何知識和物理規律，找到已知量與軌道半徑R、周期T的關系，求出粒子在磁場中偏轉的角度或距離以及運動時間不太難。

〔責任編輯：高照〕

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