一題多解 思維開花

〔關鍵詞〕 數學教學；一題多解；三角函數；求解

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2011）05（A）—0079—01

一題多解就是廣開思路，從不同角度去審視問題，使學生腦海中存儲的大量信息被充分調動起來，從而找出不同的切入點和突破口.一題多解可以訓練學生對數學思想和數學方法的嫻熟運用，鍛煉學生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和獨創性.下面，筆者以一道三角求值題為例進行講解．

例題：已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），求tanθ的值.

知識鏈接：由三角函數的定義，sinθ=，cosθ=，易得sinθ+cosθ=．故sinθ+cosθ>0，等價于θ的終邊在直線y+x=0的上方；sinθ+cosθ=0，等價于θ的終邊在直線y+x=0上；sinθ+cosθ<0，等價于θ的終邊在直線y+x=0的下方.

解法１：已知sinθ+cosθ=，兩邊平方得2sinθcosθ=－， ∴（sinθ-cosθ）2=1-2sinθcosθ=1+=. ∵ θ∈（0，π）， sinθ+cosθ=<1， ∴ θ∈（，π）， ∴ sinθ-cosθ>0， ∴ sinθ-cosθ=， sinθ=，cosθ=-， ∴ tanθ=-．

點評：此解法是學生常用的方法，但是如何從已知條件中挖掘出隱含條件，將θ的范圍縮小在（，π）上，卻是艱難的一步，而此處運用上面的知識鏈接，輕松地解決了這一難題.

解法２：由sinθ+cosθ=sin2θ+cos2θ=1解得sinθ=cosθ=-或sinθ=-cosθ=. ∵ θ∈（0，π）， ∴ sinθ>0，故 sinθ=，cosθ=-，∴ tanθ=－.

點評：此解法中對增根的舍去顯然容易得多，但將平方關系引進并構造方程組略有技巧，不過此法學生也容易掌握.

解法３： ∵ sinθ+cosθ=①，（sinθ+cosθ）2+（sinθ-cosθ）2=2，∴ sinθ-cosθ= ②或sinθ-cosθ=- ③．

由①②得sinθ=，cosθ=-.∴tanθ=-．

由①③得sinθ=-．但θ∈（0，π），故舍此解．因此，tanθ=-．

解法４： ∵ sinθ+cosθ=， ∴（sinθ+cosθ）2=，∴ 2sinθcosθ=-，即2sinθcosθ=-（sin2θ+cos2θ），兩邊同時除以cos2θ，得12tan2θ+25tanθ+12=0，解得tanθ=- 或tanθ=-． ∵θ∈（0，π）， sinθcosθ<0，sinθ+cosθ>0，∴ sinθ>0>cosθ，cosθ>-sinθ ，∴ tanθ=<-1，故tanθ=-．

解法５：（由題意sinθ+cosθ=可得sinθ，， cosθ成等差數列，故可“等差換元”.）

設sinθ=+t，cosθ=-t，則sin2θ+cos2θ=（+t）2+（-t）2=1 ， 解得t=±. ∵ θ∈(0，π)， ∴ sinθ>0． 而當t=-時，sinθ=-<0（舍去），故t=． ∴ sinθ=，cosθ=-， ∴ tanθ=-．

點評：此解法打破了思維定勢，利用等差數列的性質進行“等差換元”，使得運算過程化繁為簡．

總之，一題多解對于培養學生從不同角度、不同側面去分析問題、解決問題，加深對知識的理解，提高其學習能力是十分必要的。同時也有利于將學生從茫茫題海中解脫出來，達到事半功倍的學習效果！

編輯：劉立英