初中數(shù)學(xué)不同版本教材課程難度比較研究

摘 要 知曉不同版本教材的課程難度，有利于根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)實(shí)靈活的選取教學(xué)素材，提高教學(xué)效率。通過(guò)定性和定量?jī)蓚€(gè)角度分別對(duì)人教版和北師大版數(shù)學(xué)教材中二次函數(shù)一章第一小節(jié)的例題進(jìn)行教材課程難度評(píng)定。發(fā)現(xiàn)人教版例題難度大于北師大版例題難度，同時(shí)得到關(guān)于不同教材課程難度分析的一般模式。

關(guān)鍵詞 人教版教材 北師大版教材 例題 難度

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

從中學(xué)數(shù)學(xué)教材中看，二次函數(shù)占有重要的地位。本文選取了九年級(jí)人民教育出版社、北京師范大學(xué)出版社兩個(gè)版本（以下簡(jiǎn)稱人教版、北師大版）的初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)二次函數(shù)一章中第一小節(jié)的例題為對(duì)象，從難度的角度進(jìn)行對(duì)比分析，從數(shù)學(xué)例題的難度去探討數(shù)學(xué)課程難度。

1 定性比較研究

例題是用來(lái)說(shuō)明某一定律或者定理，是把知識(shí)、技能、思想和方法聯(lián)系起來(lái)的紐帶。在教學(xué)過(guò)程中教師主要是通過(guò)例題的示范性，使學(xué)生獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)。由此可知例題在教學(xué)過(guò)程中有著重要的作用。

（1）例題數(shù)量的比較。人教版教材雖然只對(duì)引言中的題目做了簡(jiǎn)單的解答，但是也讓學(xué)生初步了解了函數(shù)的表現(xiàn)形式，所以本文將此也歸結(jié)為例題。引言中的問(wèn)題作為第一題，再有問(wèn)題1和問(wèn)題2。如此人教版教材的例題主要有三道題（簡(jiǎn)稱：人教例1、2、3）。北師大版教材的例題是以同一題材為主題但分成應(yīng)用題和想一想兩個(gè)部分，如此北師大版教材一共有兩道例題（簡(jiǎn)稱：北師例1、2）。

（2）例題類型的比較。人教例1、2都是以幾何圖形為題材的解答題，人教例3是以實(shí)際生活生產(chǎn)為題材的應(yīng)用題。三道例題將幾何與應(yīng)用相結(jié)合，豐富了例題的種類。北師大版教材的例題也是以生活生產(chǎn)為材料的應(yīng)用題，但是在北師例2中采取了探究和填圖的形式，讓學(xué)生自己動(dòng)手做，找出最后的答案。充分體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，讓學(xué)生主動(dòng)地、親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程。

（3）例題呈現(xiàn)形式的比較。二次函數(shù)第一小節(jié)的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生明白什么是二次函數(shù)和二次函數(shù)表達(dá)式的呈現(xiàn)形式。在人教版教材中，人教例1讓學(xué)生先初步了解二次函數(shù)的表現(xiàn)形式，人教例2仔細(xì)分析了兩個(gè)量之間的關(guān)系，通過(guò)一步步細(xì)致的解答得到d與n的二次函數(shù)關(guān)系式。最后人教例3是以生活生產(chǎn)為例，除了進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)二次函數(shù)知識(shí)的了解與應(yīng)用，還讓學(xué)生明白函數(shù)解析式中因變量與自變量的關(guān)系。北師大版教材的例題，北師例1首先給出生活生產(chǎn)的解答題，并且提出三個(gè)問(wèn)題，教師可以通過(guò)第一個(gè)小問(wèn)題來(lái)復(fù)習(xí)以前的知識(shí)，起到一個(gè)承上啟下的作用，第二和第三小問(wèn)題層層加深直到寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式。北師例2運(yùn)用了探究和填圖的形式，讓學(xué)生自己動(dòng)手，深刻理解函數(shù)解析式中x的每一個(gè)值，y都有一個(gè)對(duì)應(yīng)值。

從以上三個(gè)方面的分析，了解到人教版的例題要多于北師大版的例題，在課時(shí)上會(huì)多一些，但是人教版通過(guò)三個(gè)例題由淺到深，逐步讓學(xué)生吸收二次函數(shù)表達(dá)式的知識(shí)，還將幾何題與實(shí)際應(yīng)用題相結(jié)合，學(xué)生不論是從空間思維，還是邏輯思維都得到了很好的提高。北師大版教材雖然前后只有一個(gè)以實(shí)際問(wèn)題為題材的例題，但是首先是以自變量、因變量的知識(shí)復(fù)習(xí)為引入，讓學(xué)生新舊知識(shí)相結(jié)合。再次第二部分的探索和填圖題，讓學(xué)生自己思考，自己動(dòng)手，自己分析來(lái)得到結(jié)果。充分發(fā)揮了學(xué)生的自主能動(dòng)性，讓學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程。

2 定量比較研究

2.1 例題難度模型的建立

對(duì)例題進(jìn)行定性分析后，再進(jìn)行定量分析，也就是進(jìn)行難度分析。本文以鮑建生的數(shù)學(xué)題綜合難度模型為基礎(chǔ)進(jìn)行改進(jìn)，得到數(shù)學(xué)例題難度模型，以此來(lái)分析兩版本的例題難度。鮑建生的數(shù)學(xué)題綜合難度模型，將數(shù)學(xué)題的綜合難度等同于數(shù)學(xué)課程的綜合難度，分別將中英兩國(guó)8年級(jí)數(shù)學(xué)期望課程、實(shí)施課程和獲得課程的綜合難度進(jìn)行了比較。其并不適用于單一例題的難度比較，并且鮑建生的模型對(duì)五個(gè)方面的水平層次的界定是針對(duì)中英8年級(jí)水平，并且發(fā)表時(shí)間為2002年。本文選定的是新課改后的九年級(jí)的教材。所以該模型也不能一成不變地運(yùn)用于現(xiàn)在的教材，還需進(jìn)行一定的修正。

鮑建生的模型將“探索”分為三層：識(shí)記、理解和探究，鮑的界定不能直接運(yùn)用于研究，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)7-9年級(jí)的教材要求學(xué)習(xí)素材的呈現(xiàn)力求體現(xiàn)應(yīng)用過(guò)程。因此，本文認(rèn)為“理解”包括“理解”和“應(yīng)用”兩個(gè)層次。因而，“探究”的水平應(yīng)分為識(shí)記、理解、探求、應(yīng)用四個(gè)層次。鮑將推理分為無(wú)推理、簡(jiǎn)單推理、復(fù)雜推理。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程目標(biāo)中要求學(xué)生要經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)。此標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)推理能力的要求又更近一層次了。而鮑建生對(duì)推理的界定太過(guò)粗，從簡(jiǎn)單直接跳躍到復(fù)雜有點(diǎn)不太合適，所以推理可分為四個(gè)層次：無(wú)推理、簡(jiǎn)單推理、中等難度推理、復(fù)雜推理。鮑建生的“知識(shí)含量”是指每一個(gè)題中包含綜合知識(shí)點(diǎn)的數(shù)量，并且他依據(jù)數(shù)量將“知識(shí)含量”的難度分為“單個(gè)知識(shí)點(diǎn)”、“兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)”和“三個(gè)以上”三個(gè)對(duì)應(yīng)的層次。由于九年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容比八年級(jí)要多一些，要求也高一些。但是例題中的知識(shí)點(diǎn)很少有超過(guò)4個(gè)的。其難度可以分為“單個(gè)知識(shí)點(diǎn)”、“兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)”、“三個(gè)知識(shí)點(diǎn)”和“四個(gè)以上知識(shí)點(diǎn)”。

2.2 具體例子難度分析

人教例3： 某工廠一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20件，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量。如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計(jì)劃所定的x的值而確定，y與x之間的關(guān)系應(yīng)該怎樣表示？

從5個(gè)難度因素依次進(jìn)行分析，在“探究”方面，人教版教材問(wèn)題2要求學(xué)生結(jié)合實(shí)際做出決策，屬于第四層次的“應(yīng)用”；在“背景”方面，例題所涉及的是社會(huì)生活常識(shí)，是第三層次；在“運(yùn)算”方面，例題涉及到符號(hào)，但只是簡(jiǎn)單的符號(hào)運(yùn)算，是第三層次。在“推理”方面，例題的推理過(guò)程是：這種產(chǎn)品的原年產(chǎn)量是20件，（1）一年后的產(chǎn)量是20(1 + x)件，（2）再經(jīng)過(guò)一年后的產(chǎn)量是20(1+x)2件，（3）兩年后的產(chǎn)量為y = 20(1+x)2，即y = 20x2 + 40x + 20。通過(guò)三步的推理得到結(jié)果，屬于簡(jiǎn)單推理過(guò)程，因此是第二層次；在“知識(shí)含量”方面，包含了四個(gè)知識(shí)點(diǎn)：倍數(shù)、代數(shù)式、完全平方公式、代數(shù)式化簡(jiǎn)，因此是第四層次。

加上權(quán)重，按照難度公式計(jì)算，得到：

人教版問(wèn)題2難度 = 0.24€? + 0.12€? + 0.18€? + 0.22€? + 0.24€? = 3.26即人教版問(wèn)題2難度值為3.26。

根據(jù)上面的分析思路，對(duì)人教版教材和北師大版教材的其他例題進(jìn)行難度分析，可以得到各題各因素難度層次值，并運(yùn)用計(jì)算難度公式加權(quán)計(jì)算出兩個(gè)版本例題的難度值，得到結(jié)果如（表1）：

表1 人教版與北師大版教材例題難度分析

2.36由上表可知人教版教材三道例題的難度值分別為2.5、3.36、3.26，對(duì)其求平均值得到人教版例題難度均值為3.04；北師大版教材例題難度值分別為3.29、2.36，對(duì)其求平均值得到北師大版例題難度均值為2.825；如此對(duì)二次函數(shù)第一小節(jié)例題的分析后，得到的結(jié)果是：

人教版例題難度＞北師大版例題難度

雖然兩版本教材在運(yùn)算、推理方面區(qū)別不大，但是在其他三個(gè)方面區(qū)別很明顯。說(shuō)明探究、背景、知識(shí)含量對(duì)題目難度有著很大的影響作用。

3 討論

由以上研究可以看出，人教版的例題由淺入深，坡度緩和使學(xué)生更容易接受知識(shí)。而北師大版教材例題用復(fù)習(xí)舊知點(diǎn)的方式引入新的知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生新舊知識(shí)進(jìn)行建構(gòu)大大體現(xiàn)了新課標(biāo)的理念。

綜合看來(lái)，兩個(gè)版本的教材各有千秋。不能片面地說(shuō)哪一個(gè)版本的教材好，哪一個(gè)版本的教材不好。教學(xué)者應(yīng)當(dāng)根據(jù)自己班上學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)平均水平來(lái)選擇課本的使用，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的班級(jí)可以使用難度值高一些的課本；喜歡探索、思考和自己動(dòng)手的班級(jí)可以使用北師大版的教材。教學(xué)者應(yīng)該做到學(xué)生決定教材。

在這里本文只以二次函數(shù)第一小節(jié)為例進(jìn)行了分析，目的是為廣大教學(xué)者提供一個(gè)分析模式，期望大家可以根據(jù)自己班級(jí)學(xué)生的特點(diǎn)，對(duì)自己所使用的教材運(yùn)用數(shù)學(xué)例題難度模型來(lái)分析數(shù)學(xué)題目。課本中不同知識(shí)點(diǎn)的要求不同，相應(yīng)編排的例題也不同。只有廣大教師通過(guò)思考，通過(guò)比較，才能發(fā)現(xiàn)各個(gè)版本教材的優(yōu)缺點(diǎn)，并將其運(yùn)用到實(shí)際教學(xué)工作中去，發(fā)揮教材的最大作用。

參考文獻(xiàn)

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