例談正方形中一種面積轉化的方法
2011-12-31 00:00:00仇錦華
中學教學參考·理科版 2011年8期
正方形是一個很完美的平面圖形，她的特殊性體現在她的各個元素中：如四邊相等，四個角為90°，對角線相等且互相垂直平分且平分每一組對角，面積等于邊長的平方或對角線平方的一半，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形等等.如果我們能靈活運用這些性質解題，許多問題會顯得簡捷巧妙.下面以正方形中圖形面積為例給出一些簡便的解法.
圖1
【例1】如圖1，正方形ABCD與正方形CEFG中，D、C、E在一條直線上，且AB=4，求S△BDF.
分析：此題可設小正方形的邊長為x，則S△DFE=12(4+x)#8226;x，S△ABD=8，
∴S△BDF=S正ABCD+S梯BCEF-S△ADB-S△DEF
=16+12（x+4）#8226;x-8-12(x+4)#8226;x=16-8=8.
以上解法所用等量關系雖說簡單，但計算復雜易錯.如果我們考慮到正方形的對角線平分每一組對角，可連結FC，則FC∥BD.又因平行線間距離相等，△DBF與△DBC同底（BD）等高，故S△BDF=S△DBC=8.
【例2】正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖2所示，點G在線段DK上，正方形BEFG的邊長為4，則△DEK的面積為（）.
A．10B．12C．14D．16
圖2
分析：此題陰影部分面積仍然可以用整個圖形的覆蓋面積（S正ABCD+S正GFEB+S梯PKEF）減去（S△ADE+S△DGC+S△GPK），但要設兩個參數（兩個正方形的邊長），計算較繁.如果用例1的圖形面積轉化的思想來解題就方便多了.
解：連結DB、GE、FK三條對角線，則DB∥GE∥FK，
∴S△DGE=S△GBE，S△KGE=S△FGE，
∴S陰＝S正BEFC＝16.
【例3】如圖3，若四邊形ABCD、四邊形CFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE，AG⊥CE.
（1） 當正方形GFED繞點D旋轉到如圖4的位置時，AG=CE是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.
（2） 當正方形GFED繞D旋轉到如圖5的位置時，延長CE交AG于H，交AD于M.
①求證：AG⊥CH;
②當AD=4，DG=2時，求CH的長.
圖3圖4圖5
此題是2010湖南常德市的中考題，對于第二問，提供的參考答案是這樣的：
解：（2）①類似（1）可得△AGD≌△CED，∴∠ECD＝∠GAD.
又∵∠HMA＝∠DMC，∴∠AHM=∠ADC＝90°.
即AG⊥CH.
②研究四邊形ACDG的面積.
過G作于GP⊥AD于P，由題意有GP=PD=2×sin45°=1，
∴AP=3，AG=10.
而以CD為底邊的三角形CDG的高=PD=1，
S△AGD+S△ACD=S四邊形ACDG=S△ACG+S△CGD，
∴4×1+4×4=10CH×+4×1.∴CH=8105.
圖6
從以上的解答我們可以看出計算過程是復雜的，
數據也是繁瑣的.下面用正方形面積轉化方法來解.
解：如圖6，連結AC、CG，則AC∥GD，
∴S△AGC=S△ADC=8，
由①得AG⊥CH故CH是△AGC的高，
∴12AG#8226;CH=8.
自G作GM⊥AD，得等腰直角三角形GMD，∴GM=MD=1，
∴AM=3，AG=10.
又12AG#8226;CH=8 ，∴CH=8510.
(責任編輯金鈴）
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