基于分布函數的數學期望與方差的簡潔求法

摘 要:在僅已知隨機變量的分布函數求解數學期望與方差時，通常利用分布函數求出分布列或概率密度，再根據定義求出數學期望與方差，過程較為復雜。為了簡化計算，本文針對非負整值離散型隨機變量與連續型隨機變量，從理論上推導出了基于分布函數直接求解數學期望與二階原點矩的計算公式，并可間接用于方差的求解。進一步通過實例驗證了此方法在一定場合下的有效性與簡潔性。

關鍵詞:數學期望 方差 二階原點矩 分布函數

中圖分類號:O211文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)04(c)-0146-02

數學期望與方差是隨機變量的兩個重要數字特征，用定義求解數學期望與方差是最常用、最基本的方法，但定義中僅給出了用分布列與概率密度的求解方法[1～2]。有時在實際中往往已知隨機變量的分布函數，雖然可以將分布函數轉化為分布列或概率密度，但過程稍顯復雜[3]。下面主要討論不同情況下，如何利用分布函數直接求解數學期望與二階原點矩的方法，同時可間接用于方差的求解。

1 非負整值隨機變量的情形

非負整值隨機變量是指只取非負整數值的離散型隨機變量。利用分布函數求非負整值隨機變量的期望與二階原點矩，有如下結論。

定理1:設是非負整值離散型隨機變量的分布函數，若與的數學期望均存在，則

(1)

(2)

證明:設，為的分布列，由于與均存在，則級數與均絕對收斂，故

(X≥i).

++

(X≥k)

根據方差的求解公式，很容易得到如下結論:

推論:設是非負整值離散型隨機變量的分布函數，若的方差存在，則 (3)

例1:設離散型隨機變量的分布函數如下，求的數學期望與方差。

解:由定理1，可得:

=1+0.8+0.5=2.3

=1+3×0.8+5×0.5=5.9

從而=0.61

或者根據推論，=0.61.

例2:設，求的數學期望與方差。

解:由于服從參數為的幾何分布，故的分布列為:

其中表示在伯努利試驗中事件首次出現時的試驗次數，表示每次試驗中事件發生的概率。對于幾何分布的數學期望和方差的求解，利用分布律求解級數的和較為復雜[1]。而事件表示前次事件均沒有發生，故，利用定理1，有，

故

則==

2 連續型隨機變量的情形

對于連續型隨機變量，若其分布函數已知，可根據如下定理直接求解期望與二階原點矩。

定理2:設是連續型隨機變量的分布函數，若與的數學期望均存在，則:

(4)

(5)

證明:設為的概率密度，由于與均存在，則廣義積分與均絕對收斂，故

而

故

同理

即

類似地，根據公式即可求解方差。

例3:設連續型隨機變量的分布函數如下，求的數學期望與方差。

解:由定理2，可得:

=2

從而

對于形如例3形式的分布函數，利用定理2求解數學期望與方差的過程簡單，計算方便。

3 結語

本文從理論上推導出了基于分布函數直接求解非負整值隨機變量與連續型隨機變量的數學期望與二階原點矩的公式，同時可間接用于方差的求解。并通過實例驗證了此公式在一定場合下的有效性與簡潔性。

參考文獻

[1] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].北京:高等教育出版社，2004.

[2] 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計(第4版)[M].北京:高等教育出版社，2008.

[3] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程習題與解答[M].北京:高等教育出版，2005.

“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”