帶有耗散的半線性雙曲方程的解的不變集合

摘 要:本篇文章中，我們用一個引理得到一類帶有耗散的半線性雙曲方程的解得不變集合。

關鍵詞:非線性發展方程 不變集合

中圖分類號:O175.2文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)04(c)-0145-01

本篇文章我們將討論方程:

(1)

(2)

(3)

且滿足[1]中聲明的條件。

對于方程(1)～(3)，我們定義方程的能量泛函如[1]中定義方法，下面我們證明集合和是不變的。首先我們需要引入一個重要引理。

引理1:令滿足。如果且。則有.另外如果，則有。

定理1:設，滿足，，，

如果，則在流(1.1)-(1.3)下集合和是不變的.

證明:下面我們分別證明設和是不變的。

(i)是方程(1)～(3)滿足的任意一個弱解，且滿足或者，是解的最大存在區間。我們將證明對于任意，。倘若不然，則存在某一個時刻滿足，也就是，且。由的定義，有≥d。且由于

≤E(0)=d，

將帶入，我們得到即當時有。這就意味著當，時，有，即。因此我們得到，這與矛盾，假設不成立。

(ii)設是方程(1)～(3)滿足，的任意一個弱解，是解的最大存在區間。下面我們證明當時，有。倘若不然，則一定存在某一時刻使得，即.我們就假設是第一次滿足的時間點。則當時，有。因此由引理1，我們得到當時，，并且滿足≥。所以我們得到≥d。這部分的剩余證明與(i)中后面的證明相同，在此不再贅述。

定理2:設，滿足條件，，。倘若，是方程(1)～(3)的一個弱解(非穩態解)，是解的最大存在區間。則存在著這樣的一個時間點使得

。 (4)

證明:設是方程(1)～(3)的一個弱解(非穩態解)，且滿足，是解的最大存在區間.我們下面證明存在一個時間點滿足(4)。倘若不然，則對任意，。這就使得對任意，.因此我們得到任意，，有這就意味著，即是方程(1)～(3)的一個弱解，矛盾，假設不成立。

參考文獻

[1]Liu Yacheng，ZhaoJunsheng.On potential wells and applications to semilinear hyperbolic equations[J].Nonlinear Analysis.2006，64:2665～2687.

[2]Liu Yacheng.On potential wells and vacuum isolating of solutions for semilinear wave equations[J].Journal of Differential Equations，2003，192:155～169.

[3]Liu Yacheng，Xu Runzhang.Wave equations and reaction-diffusion equations with several nonlinear source terms of different sign[J].Discrete and Continuous Dynamical System-Series B.2007，7(1):155～173.

[4]Liu Yacheng，Xu Runzhang. Potential well method for initial boundary value problem of the generalized double dispersion equations[J].Communications on Pure and Applied Analysis.2008，7(1):63～81.

[5]Liu Li，Wang Mingxin.Global Solutions and blow-up of solutions for some hyperbolic systems with damping and source terms[J].Nonlinear Analysis，2006，64:69～91.

“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”