水準聯測點分布對GPS高程擬合影響的分析

摘 要:本文從GPS高程擬合的基本原理出發，闡述了高程擬合誤差的原因，分析了水準聯測點的分布狀況對GPS高程擬合精度的影響，并且結合既有白城至烏蘭浩特鐵路的GPS高程擬合實例來證明。

關鍵詞:GPS 高程擬合 應用

中圖分類號:TU19文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)04(c)-0068-02

隨著基于GPS應用技術理論的飛速發展，綜合利用GPS定位技術和地球重力信息代替低等級的常規水準測量(山區主要是等外，平原有時可達四等)已經得到廣泛應用。但是在實際生產過程中，水準聯測點的分布狀況對GPS高程的擬合精度有明顯影響。水準聯測點分布不合理，使某些擬合點的外推距離太大，導致外推點的精度太差。本文通過對GPS高程擬合模型原理的分析，應用數學分析方法，方便地根據擬合點對應于變換后擬合參數的系數矩陣，判斷其擬合高程的誤差是否會超限，并提出了判別標準。

1 水準聯測點分布對GPS高程擬合的影響

高程異常的擬合誤差可分為模型代表性誤差和擬合逼近誤差兩部分。模型代表性誤差指擬合函數與實際大地水準面光滑程度的差異，如用平面與大地水準面之間的差異就屬于平面擬合模型的代表性誤差，即使增加擬合的已知點數也不可能減小這項誤差。擬合逼近誤差指即使擬合函數在理論上能精確逼近大地水準面，由于采樣點的分布和數量以及采樣誤差引起擬合曲面的誤差。由于大地水準面是一個用無窮多可列系數才能在理論上充分逼近的不規則曲面，采樣誤差又是不可避免的，因此任何擬合方法都包含這兩部分誤差，本文所探討的擬合點分布對高程異常的影響主要指第二項誤差。

根據(3)式擬合參數估值X的協方差陣可表示為

(1)

其中，為協因數陣，為單位權方差，其估值可表示為

(2)

求得了擬合參數就可由(2)式計算GPS中任意點的高程異常。設GPS網中共有n個GPS點，則需要由擬合參數計算個未聯測正常高的GPS點的高程異常，其矩陣形式可表示為

(3)

式中，X為擬合參數向量，與分別為個高程異常的擬合向量及其擬合參數矩陣。由誤差傳播定律可求得個高程異常擬合值的協方差陣為

(4)

系數矩陣與分別確定了高程異常采樣點與擬合點的分布，但協因數陣不是對角陣，不易從系數矩陣與來判斷水準聯測點分布的影響。顧及協因數陣是對稱非負定矩陣，對它作正交分解如下，

(5)

式中，是正交陣，滿足，其中為t階單位陣;是對角陣。顧及式(5)，法方程系數陣的正交分解式可表示為

(6)

其中，，即就是法方程系數陣的特征值。

若對擬合參數向量X作如下正交變換

(7)

由協因數傳播定律得

，意味著經式(7)正交變換后的擬合參數向量是相互獨立的。將式(5)代入式(4)式得

(8)

其中，為正交變換后的系數矩陣。由于是對角陣，系數矩陣中的元素直接反映了對中相應項誤差的放大程度。若求第i點的高程異常擬合誤差，則由式(8)得

(9)

式中，是系數矩陣的第i項k列元素。取間接觀測值高程異常的權為單位權，則就是高程異常的觀測誤差。若要求高程異常擬合誤差不超過其觀測誤差的倍，即

(10)

稱為擬合誤差放大率。將上式代入式(9)得

(11)

應用等影響原理，取，代入上式得

(12)

取上式的倍作其限差，則擬合點系數矩陣中的各元素的限差要求為

(13)

上式中下標的取值范圍為:

。可根據擬合的精度要求設定標準。如果系數矩陣 中的每個元素均滿足上式(13)的限差要求，則所選的水準聯測點對于所采用的擬合模型是合理的;否則對于超限的點而言，水準聯測方案不適合于所采用的高程擬合模型。此時，需要改進水準聯測方案或更換高程擬合模型。

2 計算結果分析

既有白城至烏蘭浩特鐵路GPS控制網如圖1所示，線路總長約80km，有36個GPS控制點

其中1、2、3、4、5、6、12、17、18、19、20、21、24、27、31、32、34、37、39號點聯測了水準高程。圖中點位用黑框表示2、3、12、17、27、32、37號點為擬合計算采用的已知點，這7個已知點主要分布在網的西邊。采用曲面模型擬合時，各GPS水準聯測點的擬合高程與已知水準高程的差值如下表1所示，

曲面擬合模型有6個擬合參數，只有1個多余觀測值，因此已知點上的差值都很小。差值超過10cm的點19、20 、21和39都位于控制網的東側，從圖中可見該區域的控制較弱。取，用本文給出的標準可判別出9、10、13、14、15、16、19、20、21、31、33、39指標超限，表1中差值超過10cm的4個點的指標都超限，另1個指標超限點31號的差值也要達到3.3cm，還有7個指標超限的點未聯測水準。當取時，31號的指標已經不超限，而差值超過10cm的19、20、21和39點的指標依舊超限。

從上述結果可見，本節給出的判別指標是合理的。該指標有助于合理選擇與擬合模型相適合的GPS點水準高程聯測方案，也便于選擇合適的檢核點，檢查擬合點的高程擬合精度。

3 結語

實踐證明綜合水準高差觀測值和GPS技術擬合正常高的方法是可行的。實際作業中，最好線路的兩端有已知GPS水準點作為約束條件，如果達不到上述條件，應盡量將已知水準點布設在線路中間，以免誤差累積。水準高差要均勻布設在控制網中，布設長度要視測區情況而定，平原地區可適當減少，山區要增加。當用平面模型進行擬合時，布設高差觀測段時應考慮垂直線路的方向。

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