隨機利率下定額期權定價

摘 要:為使股票模型和利率模型更貼近且反映金融市場實際情況，建立了股票價格遵循指數O-U(Ornstein-Uhlenback)過程模型的隨機微分方程。在隨機利率服從Vasicek利率模型情況下，利用隨機分析理論及鞅方法，獲得了定額期權看漲定價公式。

關鍵詞:Vasicek模型 指數Ornstein-Uhlenback過程 定額期權 鞅方法

中圖分類號:O175.2文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)04(c)-0234-01

期權定價是現代金融數學研究的核心問題之一，經典的Black-Scholes定價公式[1]是應用最廣泛模型。文獻[2]提出了一種股價服從O-U過程模型。

1 市場模型基本假設

1.1 O-U過程模型基本假設

考慮一個連續時間無套利的完備金融市場.有一種風險證券(如股票)，在t時刻價格過程S(t)滿足隨機微分方程:

，且，

(1)

引理[3]:假設股價過程滿足廣義指數O-U過程模型(1)，令若，則存在唯一與概率測度P等價的概率測度Q，滿足使得在概率測度Q下折現過程是一鞅過程。若令則由Girsanov定理可知，在概率測度Q下是一個Brown運動，且股票價格過程S(t)滿足(由Doleans-Dade指數公式可得)。 (2)

1.2 短期Vasicek利率模型基本假設

在等價鞅測度Q下，市場為風險中性此時設利率過程滿足隨機微分方程:，且; (3)

模型(3)即Vasicek為短期利率模型。

2 定額期權定價公式

定額期權[4]是活躍在金融市場的一類變異期權，定額期權在到期時，只要該期權有效，期權收益將為一個定值或定額A，如果期權無效，那么期權收益為零。定額期權分為兩種:全有(定額為A)或全無(零)。

定理2:股價服從廣義指數O-U過程模型(1)，利率滿足短期Vasicek利率模型(3)，收益定額為A，執行價格為K，到期日為T的歐式定額看漲期權的定價公式為:其中是標準正態分布的累積概率

ds

d

證明，根據資產定價基本定理，市場無套利的等價條件為存在等價鞅測度，使得所有證券的折現價格過程為鞅。

由公式(3)及Ito公式得:由隨機富比尼定理知:

(4)

由公式(4)得:

，(5)

由公(3)及得:

(6)

把公式(6)帶入公式(5)得:

參考文獻

[1]BLACK， SCHOLES M. The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Ec-onomy ，1973，81:133-155.

[2]林建華，王福昌.馮凈海股價波動的指數O-U過程模型[J].經濟數學，2000，17(4):29-32.

[3]鄭曉陽，劉兆鵬.基于O-U過程的具有不確定執行價格的期權定價[J].哈爾濱工程學報，2008，29(11):1232-1235.

[4]楊建奇，蔣秋艷.O-U過程模型下定額期權的定價[J].湖南科技學院學報，2009，30(4):18-21.

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