淬火現象中的一個重要定理

摘 要:本文利用離散的方法，通過單調收斂定理得到了帶有兩個吸收源的非線性拋物方程解的局部存在性。這在淬火現象的研究中，是一個非常重要的定理。

關鍵詞:非線性拋物方程 淬火 局部解的存在性

中圖分類號:O175.2文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)04(c)-0220-01

本文主要研究非線性拋物型方程解的淬火現象中的解的局部存在性問題。淬火現象的提出始于 Kawarada 1975年對奇異反應擴散方程的研究。繼此之后，淬火現象吸引了很多人的注意和研究，涉及的問題、模型各種各樣。對于拋物型方程的淬火現象，已有大量的研究文章和結果。在非線性發展方程解的淬火問題的研究中，分析具有兩個吸收源的方程是有明顯意義的，但是人們考慮的大都是只有一個吸收源的非線性發展方程，對于含有兩個吸收源的問題還沒有進行更詳細的分析。因此本文致力于研究具有復雜吸收源問題解的局部存在性。這是證明淬火的一個重要且關鍵的定理。

我們將研究如下一類偏微分方程的初邊值問題

這里，是一個常數。

1 淬火的定義

對于淬火的定義主要有兩種方式:一種是當趨于時空間的某點時，解趨于一個常數，同時解對時間的偏導數趨于無窮;另一種是現在比較流行的定義方式，只需要解趨向于一個常數。我們可以證明在一些情況下這兩種定義方式是等價的。本文采用后者的方式定義，現定義如下:

定義:如果存在有限時刻，使得。我們就說問題(A)的解在有限時間內發生淬火，時刻稱為解的淬火時間。

2 主要結論及證明

定理:存在一個有限時刻，使得問題(A)的解在上存在。

證明:設定義在上的是問題

的基本解。眾所周知，

并且是問題(A)的解當且僅當滿足

這里。

令則有

由于是增函數，，則對于所有的，有。然后通過迭代，我們能夠證出。設是一個正數，假設，，則有。如果足夠小，則有

也就是說，如果足夠小，則有

因為，

所以我們能夠找到足夠小的使得上式成立。這樣，序列就是一個定義在上的連續函數的遞增序列，并且有上界。根據單調收斂定理，我們有在上存在，并且滿足如下等式

這樣我們就證出了本定理。

參考文獻

[1]Howard Allen Levine. Quenching， non-quenching， and beyond quenching for solution of some parabolic equations[J].Annali di Matematica Pura ed Applicata，1989，155:243～260.

[2]Theodore Boni. On quenching of solutions for some semilinear parabolic equations of second order[J].Bulletin of the Belgian Mathematical Society， 2000，7:73～95.

[3]Yuanhong Zhi，Chunlai Mu.The quenching behavior of a nonlinear parabolic equation with nonlinear boundary outflux[J].Applied Mathematics and Computation，2007，184(2):624-630.

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