電測法測量J-積分的實驗方法研究

摘 要:J-積分是一種重要的斷裂力學參數，用于描述裂紋尖端附近在彈塑性情況下的應力應變場;電測法是比較成熟的固體力學實驗方法，具有適用性強、測量準確等特點。本文嚴格遵循J-積分定義，通過嚴謹的數學推導，得到了以離散點應變表達的J-積分公式;然后借助有限元分析對測量圍道進行了優化，提出了“十點測量法”，并采用電測法進行了實驗驗證。本文所提出的電測法測定J-積分的實驗方法適用于在役一般結構件，具有嚴謹的理論基礎和良好的可行性，因而具有一定的理論意義和廣泛的工程應用前景。

關鍵詞:斷裂力學J-積分電測法

中圖分類號:TH7文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)09(b)-0007-02

1 引言

J-積分是J.R.Rice[1]在1968年提出的一個彈塑性斷裂力學中的重要參數，用于描述裂紋尖端附近彈塑性應力應變場，并且具有良好的守恒性，是結構材料斷裂破壞的重要判據。目前，J-積分可以通過三種方法得到:理論分析與估算、數值計算和實驗測定，實驗測定是其他兩種方法無法替代的直接依據。

實驗常用方法有:單試件法、多試件法和光測法等，它們都有自身難以克服的缺點。多試件法的主要問題是需要較多的實驗件和花費較多的試驗測量工作[2]。單試件法[3]雖然避免了前者的問題，但需要的設備條件較高，且不能用于在役結構件測量。光測法[4、5]理論精度較高，便于得到全場信息，但存在等差線條紋過密、條紋序數難以確定等問題，另外，光測法也存在對試件表面質量要求過高、試件加工工藝復雜和成本高昂等問題。1983年，D.T.Read[6]提出了二維單邊裂紋J-積分的直接測試法，此方法充分利用了試件的自由邊界，但由于測量的限制，理論公式作了較大簡化，只適用于較薄的試件。

本文嚴格遵循J-積分定義，建立了嚴謹的離散型計算公式，并結合電測法測量，具有廣泛的適用性。

2 實驗公式推導

2.1 J-積分的定義，圖1

對于一端有一直線切口的二維斷裂問題中，J-積分可以用回路上的應力、應變和位移給出，其表達式為:

(1)

其中是從裂紋下表面沿著逆時針方向轉到裂紋上表面，包圍裂紋尖端的任意積分路徑，x、y分別表示平行和垂直于裂紋方向的坐標，Ti為外力分量，Ui為位移分量，ds是積分路徑上的線元，W是應變能密度

(2)

2.2 離散公式推導

對等厚度的對稱試件，可取如圖1所示對稱積分路徑“oabc”，則式(1)可改寫為:

J=2Joabc (3)

其中(4)

將Joabc寫成兩項，即Joabc=Jw-JT(5)

其中，(6)

(7)

2.2.1 Jw的離散公式推導

在彈性區域內，對于平面問題，式(2)展開為

(8)

將式(8)代入式(6)，并寫成離散的形式

(9)

2.2.2 JT的離散公式推導

首先看式(7)的第一項

(10)

令，顯然，ω代表體元的剛體轉動，則式(10)可寫為

(11a)

類似的，式(7)中的第二項可變為

(11b)

將(11a)和(11b)在積分圍道上離散得

(12)

2.2.3 剛體轉動的離散公式推導

由前述剛體轉動ω的定義可知:

及，因此

(13)

在一般情況下，不僅試件是對稱的，而且試件受力也是對稱的。參看圖1，在裂紋延長線上，如O點，體元無剛體轉動。將路徑oabc作為式(12)中的積分路徑，其中O為積分路徑的起點:

(1)當積分路徑上的某一點p位于oa之間時:dx=0，則式(12)可簡化為，用有限量和式表示的積分，可得:

(14)

(2)當積分路徑上的某一點p位于ab之間時:dy=0，則式(12)可簡化為，其中a為a點的值，用有限量和式表示可得:

(15)

(3)當積分路徑上的某一點p位于bc之間時:dx=0，則式(12)可簡化為，其中b為b點的值，用有限量和式表示可得:

(16)

綜上所述，綜合式(3)、(5)、(9)、(12)以及(13)～(16)，可知式(1)所示的J-積分可用積分圍道上的應力、應變來表示。至此，實驗公式推導完畢。

3 實驗方案設計

3.1 試件與加載方案

標準緊湊拉伸試件幾何參數(參見圖1)如下:=34mm;= 60mm;H=36mm;則H/=0.6，試件厚度B=30mm，材料為2A12。實驗加載方案為:P=1000N/1500N/2000N。

3.2 積分圍道的選擇

積分圍道的選取應該考慮以下幾個方面的問題:首先，圍道必須包含裂紋尖端的塑性區;理論估算，本實驗載荷下構件塑性區的大小在毫米量級，本測量方法不會受到塑性區的影響。第二，圍道應處在裂紋尖端的遠場區域，并盡可能使沿圍道及周圍鄰域應變梯度較小;第三，圍道不能超出試件邊界;第四，圍道應考慮應變片尺寸、數量以及粘貼位置的可行性。考慮到應變片和試件尺寸大小，圍道半徑范圍在10～20mm。為方便貼片和數據處理，本文采用方形圍道，根據有限元結果選擇應變比較平滑的路徑，最終形成實驗測量圍道。

離散方式采用“十點測量法”，利用十個應變花和七個應變片得到測點的應變信息，其布局如圖2。

4 實驗結果與分析

根據實驗數據計算各載荷下J-積分值與有限元計算結果對照如表1。

由表1可見，實驗測量得到的J-積分與有限元計算得到的相應結果之間的偏差，隨載荷增大而減小，在載荷稍大時，一般低于10%。實驗偏差的來源有如下幾個方面。

(1)離散誤差

由于離散公式將積分化為有限量的和式，當離散點較少時存在一定量的離散誤差。經過收斂性檢驗，在離散點為10個的情況下，離散誤差已小于5%。

(2)貼片誤差

由于應變花的三個敏感柵距離測點都有一定距離(大約為1.5mm)，由此引入實驗測量誤差。因此建議使用三軸疊加型應變花，以減少此類誤差。

(3)應變片測量誤差

由于應變片自身的橫向效應、制造精度的限制和貼片準確性制約，應變儀、導線及焊點等引入的誤差按照實驗應力分析理論，大約在5%左右。

(4)截斷誤差

數值計算過程中，小數經過截斷后會引入截斷誤差，在進行運算尤其是乘法運算的過程中，截斷誤差被逐漸累積放大。

5 結語

本文主要探討了利用電測法測量J-積分的一般方法。首先基于J-積分的定義，用嚴格的數學推導得到了以離散點應變表達的J-積分公式;然后利用有限元模擬對測量圍道和相應的布點方式進行了優化，提出了“十點測量法”;最后進行了實驗驗證和有限元結果對比。實驗測量結果和有限元計算結果證明，利用電測法測量J-積分具有良好的可行性和適用性。

本文所提出的方法嚴格遵守J-積分的理論定義，離散中遵循物理含義而沒有進行不必要的假設和簡化，具有良好的應用一般性;圍道設計符合測量需要，布點方案既符合數學的嚴格性又照顧測量的便捷性;電測方式本身也具有良好的實用性，測量精度滿足工程要求，且不低于其他方法。以上優勢使該方法具有較為嚴謹和準確的實驗測量基礎以及良好的工程應用性，在載荷相對較大時，實驗測量結果的準確性尤為突出。

對于此方法的進一步研究重點在于解決截斷誤差積累的問題，結合光側方法進行位移測量，將有助于從根本上消除截斷誤差，彌補電測方法的不足，提高電測方法的精度。這也是未來完善這一工作的方向之一。

參考文獻

[1]Rice J.R.，A Path Independent Integral and the Approximate Analysis of Strain Concentrations by Notches and Cracks[J].Journal of Applied Mechanics，1968，35:379-386.

[2]Begley J.A.and Landes J.D.，The J?integral as a Fracture Criterion[J].American Society for Testing and Materials， 1972， Fracture Toughness:1-20.

[3]Rice J.R.，Paris P.C.and Merkle J.G.，Sonfe Further Result of J-integral Analysisi and Estimates[J].American Society for Testing and Materials，1973，231-245.

[4]Moore A.J.and Tyrer J.R.，Phase-stepped ESPI and Moire Interferometry for Measuring Stress-intensity Factor and J-Integral[J].Experimental Mechanics，1995，306-314.

[5]Sivaneri N.T.，Xie Y.P.and Kang B.S.，Elastic-plastic crack-tip-field numerical analysis integrated with moiré interferometry[J].Engineering Fracture Mechanics，1991，40:291-303.

[6]Read D.T.，Experimental method for direct evaluation of the J-contour integral.ASTM STP 791，1983(Ⅱ):199-213.

[7]洪啟超.工程斷裂力學基礎[M].上海:上海交通大學出版社，1987.

[8]畢杰春，寧寶寬，黃杰，等.實驗力學[M].北京:化學工業出版社，2011.