理想氣體多方過程的研究

摘 要:對某些文獻和教科書上關于多方過程定義的質疑，探討了多方過程氣體比熱容與溫度的關系，并給出多方過程一種實質性定義。討論了有關多方過程的一些具體問題，及多方過程的實際應用。

關鍵詞:多方過程定義質疑實質性定義摩爾熱容相關計算實際應用

中圖分類號:G6文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)07(c)-0007-02

對于1mol任何理想氣體:熱力學第一定律微分形式:

dQ=dE+dW即CdT=CV，mdT+PdV (1)

理想氣體狀態方程微分形式:

PdV+VdP=RdT (2)

CP，m=CV，m+R(3)

由(1)(2)(3)式得:

令: (4)

所以有:(5)

若n為常數，則(5)式可積分得:

PVn=常數 (6)

若n為變量，則由(5)不能得出(6)

多方過程的定義為[1]:凡是滿足方程(6)的過程稱為多方過程，其中n為與P、V無關的常數，稱為多方常數，可取的一切實數。

因此，理想氣體多方過程的基本特征是n為常數，當n為變量時，則所經歷的過程為非多方過程。

1 有關多方過程定義的置疑

1.1 在許多文獻和教科書上[2]，將多方過程定義延伸為“使熱容C保持常量的過程”

對于這種提法我認為是片面的，論述如下:

由式(4)得:

n==1- (7)

由式(7)知:若摩爾定體熱容為常數，Cm為常數和n為常數是等價的，即摩爾熱容Cm為常數的過程肯定為多方過程;若摩爾定體熱容為變量，n為常數和摩爾熱容Cm為常數是不等價的，Cm為變量也可以為多方過程。

一般地，對于理想氣體，為溫度的函數[1]。

根據熱力學知:N個同類分子組成的理想氣體系統的比熱容(對于摩爾定體比熱容，N為阿佛伽德羅常數)，其定義為[1]:

(8)

U為系統內能:Um=(9)

q為波爾茲曼系統中分子的配分函數:

q=(10)

在忽略次要因素情況下，(10)中的分子能量有分子作為整體的質心平動，整體的轉動和內部原子間的相對振動這三部分組成。由(8)(9)(10)三式得:理想氣體的摩爾比熱容是由這三部份能量分別引起的摩爾定體比熱容之和，即:

(1)平動部分。平動部分對熱容的貢獻可用能量均分定理來處理。每個分子的平動自由度對定容熱容的貢獻是，故摩爾定容比熱容是。

(2)轉動部分。一般只考慮低溫下較輕雙原子分子氣體轉動的量子性。對不同原子的雙原子分子有 ;2j+1是動量矩不同取向的簡并度;令轉動的特征溫度。

當(在常溫范圍內已滿足條件)，得和。

當時，可得，隨T減小而，由的公式還可看出，轉動慣量越大的分子越小，就不容易顯現量子效應。經計算知:在時，有一個極大值，然后漸漸趨向于經典值。

(3)振動部分。絕大多數的多原子分子在常溫下振動對比熱容沒有貢獻，只有高溫時才有貢獻。多原子分子內部原子的相對振動不屬于哪一個原子，而是N個集體的振動模式，故有3N-5或3N-6個自由度，那么也就有這么多的簡正振動。在簡諧近似下，簡正振動都是獨立的，所以振動能量就是各個振動能量之和:，而配分函數，從而求得摩爾比熱容。

對于雙原子分子氣體，只有一個振動自由度。引入振動特征溫度，則在時，同經典結果一樣，而在時，可得，隨著溫度的降低而。

綜上所述，只有在特定的溫度條件小而趨于定值(在常溫范圍內為定值)。因此“多方過程是熱容C保持不變的過程”這種說法是片面的，它具有溫度的局限性。

1.2 多方過程定義延伸的正確提法

對于多方過程，由(7)式得:與等價，所以是多方過程的最基本特征。

由于，結合熱力學第一定律得: ，與相對應，可把它稱為功容，并記為，引進功容概念可給多方過程一個更具實質性定義，即“理想氣體在某一過程中對外界所做的功若與其溫度的升高量成正比，則這一過程稱為多方過程，可用過程方程來描述”，多方指數n的取值決定于過程的功容，功容值不同反映了給定系統各種多方過程間的差異，這時熱容C亦可為常量或溫度的函數(變量)。

功容為常量是所有可用描述的多方過程都存在，且與多方指數n=常數完全等價的，顯示了多方過程與非多方過程的根本性區別，反映了多方過程實質性內容。故定義可提為“多方過程是功容保持不變的過程”。

2 多方常數n的取值及其與四個等值過程的關系

由(5)式得

由上式可知:

當n=0時，過程線為平行于V軸的直線，即為等壓過程;

當n=1時，過程線為一雙曲線，即為等溫過程;

當n=時，過程線為一垂直于V軸的直線，即為等容過程;

當n=時，過程線為一雙曲線，即為絕熱過程。

多方指數n可以取之間的一切實數，如圖1所示:

在ⅠⅡ區域內進行的多方過程的多方指數n取值為負。

若過程在ⅠⅡ區域進行，n取值為負時由(6)式有，該式說明:當氣體體積增大時，壓強也增大;體積減小時，壓強也減小，在熱力設備中沒有近似于這種情況的實際過程。所以實際中，多方過程的多方指數n只是取。

3 多方過程中摩爾熱容的有關問題

由和得

由上式知多方過程的熱容隨過程不同而不同，多方指數n可取到之間的所有值。

3.1 四個等值過程的摩爾熱容與n取值的關系

當n=0時，即為等壓過程的摩爾熱容量;

當n=時，即為等體過程摩爾熱容量;

當n=1時，即為等溫過程的摩爾熱容;

當n=時，即為絕熱過程的摩爾熱容。

當時，，即說明在等溫線和絕熱線之間進行的多方過程的摩爾熱容量為負值。

3.2 對摩爾熱容量為負值的解釋

首先，由摩爾熱容量定義得，即的異號，說明一同吸收熱量溫度反而降低;或者是系統放出熱量溫度反而升高了。

其次，從熱力學第一定律來解釋:系統膨脹對外做的功大于它所吸收的熱量，故系統要通過內能的減少或轉變成對外做功，因而系統溫度降低;或是系統被壓縮時，外界對它所做的功大于它所放出的熱量，還有一部分外功轉化成系統的內能，因而系統內能增加。

再從P-V圖2來看，設:

多方膨脹過程:

對外做功:

內能變化:

絕熱膨脹過程:

對外做功:

內能變化:

∵而∴

又即∴即該多方膨脹過程既降溫又吸熱;若該過程反向進行是多方壓縮過程，則既升溫又放熱。

4 關于理想氣體多方過程內能變化(ΔE)、功(W)和熱量(Q)的計算

內能增量:;

體積功:

熱量:

當n=1時的多方過程(等溫過程)不適合用上式，此時

。

當理想氣體種類一定，n和始末狀態已知時，可容易求得系統過程的功、內能增量及熱量的變化。

5 關于多方過程的實際應用——逆卡諾循環

逆向進行的卡諾循環稱為逆卡諾循環，它由下列四個可逆過程組成如圖3所示:

圖中，c—b氣體被絕熱壓縮;

b—a氣體向熱源(T1)可逆等溫放熱;

a—d氣體絕熱膨脹;

d—c氣體從冷源(T2)可逆等溫吸熱。

上述各過程均為多方過程。在整個可逆循環中，氣體向熱源放熱q1，從冷源吸熱q2，外界消耗功w1，對外界作功w2。

按熱力學第一定律:

即(循環凈功) (11)

b—a過程放熱(12)

d—c過程吸熱(13)

設空氣比熱容比為則:

對c—b過程有即 (14)

對a—d過程有即(15)

①、如果逆卡諾循環用作致冷循環，其致冷系數為:(16)

則由式(11)，(12)，(13)，(14)，(15)，(16)得致冷系數為:

②、如逆卡諾循環用于供熱(熱泵)循環，其供熱系數為:

逆卡諾循環可以用來致冷，也可用來供熱，這兩個目的可以單獨實現，也可以在同一設備中交替實現，即冬季用來作為熱泵采暖，夏季作為致冷機用于空調致冷。

對于理想氣體的準靜態實際過程，往往不是單一的多方過程，n是在不斷變化的。我們可把這樣的過程視為由許多不同的多方指數n不同的多方過程組合而成。

參考文獻

[1]秦允豪.熱學.北京:高等教育出版社.1999.

[2]A..薩莫洛維奇.熱力學與統計物理學.許保國譯.北京:高等教育出版社.1958.

[3]馮立峰.關于多方過程的討論與研究.佳木斯大學學報.2006(4).

[4]尹釗.理想氣體多方過程熱容量公式的推廣.阜陽師范學院學報.2002(9).

[5]尹釗.理想氣體多方過程與非多方過程的吸_放熱的特點.徐州師范學院學報.1996(3).

[6]張忠厚.熱力學中的多方過程研究.遼寧工程技術大學學報.2006(6).