蝴蝶定理

摘 要:本文運用代數方法，利用幾何畫板和CAD軟件，描述蝴蝶定理，給出了蝴蝶定理的證明和圖形、討論蝴蝶定理的實質，并且進一步討論在圓錐曲線中的蝴蝶定理和一些蝴蝶定理的推廣，闡述了蝴蝶定理中的數學美和其數學的教育價值

關鍵詞:蝴蝶定理幾何畫板數學美教育價值

中圖分類號:0182文獻標識碼:A文章編號:1674-098x(2011)07(c)-0255-02

1 蝴蝶定理簡介

1.1 蝴蝶定理的背景

蝴蝶定理是古典歐氏平面幾何的最精彩的結果之一，最先是作為一個征求證明的問題，刊載于1815年的一份通俗雜志《男士日記》(Gentleman's Diary)39-40頁上。而“蝴蝶定理”這個名稱最早出現在《美國數學月刊》1944年2月號，由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名。這個定理的證法多得不勝枚舉，至今仍然被數學熱愛者研究。

1.2 蝴蝶定理的簡述

最基本的敘述為:設M為圓內弦PQ的中點，過M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ于點X和Y，則M是XY的中點。

2 蝴蝶定理的證明

這個定理的證法多得不勝枚舉，1815年英國一個自學成才的中學數學教師W.G.霍納(他發現了多項式方程近似根的霍納法)給出了第一個證明，完全是初等的;另一個個證明由理查德·泰勒(Richard Taylor)給出。另外一種早期的證明由M.布蘭德(Miles Bland)在《幾何問題》(1827年)一書中給出。最為簡潔的證法是射影幾何的證法，由英國的J·開世在“A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid”給出，只有一句話，用的是線束的交比。1981年，Crux雜志刊登了K.薩蒂亞納拉亞納(Kesirajn Satyanarayana)用解析幾何的一種比較簡單的方法(利用直線束，二次曲線束)。

下面我將給出一個代數的方法來證明這個定理。

證明:以圓心O作為坐標軸的原心，以OM為y軸

則PQ平行于x軸

設M的坐標為(0，-a)，圓的方程為

則0<|a|<1， PQ的方程為:y=-a

設AB、CD所在直線的方程分別為:

則可得到AB、CD與圓O的交點A、B、C、D的坐標

則可得到AD與BC的方程和X、Y的坐標

故可證明|XM|=|MY|

注:該證明沒有給出具體的計算數值，但可以對證明進行優化，得到更簡便的證明方法:以M作為坐標軸的原心，以PQ為X軸，M的坐標為(0，0)，圓的方程為，0<|a|<1，PQ的方程為:y=0，接下去的計算會大大簡化。

3 圓錐曲線上的蝴蝶定理

從上面的蝴蝶定理，我們知道在圓上蝴蝶定理是成立的，那么我們進一步猜想:在圓錐曲線上是否是成立的。同樣我們可以證明是成立的，其定理的描述如下:在圓錐曲線中，過弦PQ中點M任做兩條弦AB、CD，直線AD和BC交PQ于X、Y點，則有|MX|=|MY|。

以拋物線為例，做出圖形(如圖二所示):

下面我將針對拋物線給出蝴蝶定理的證明。

證明:以M作為坐標軸的原心，以PQ為x軸

則M(0，0)，設P(-t，0)，Q(t，0)

設拋物線的方程為

由于P、Q在拋物線上，將兩點坐標代入拋物線方程可得:D=0

設AB、CD的方程分別為:

，

設A()B()C()D()

于是可以得到AD，BC的方程分別為:

，

設X(a，0)，Y(b、0)

由上面AD、BC的方程可以得到

a=，

b=

將A、B、C、D四點代人拋物線方程，經計算可得到a+b=0

于是得到|MX|=|MY|

注:以上證法類似于在圓中的蝴蝶定理的證明，其它圓錐曲線同理可證。

4 從實質上來探討蝴蝶定理

4.1 笛沙格(G．Desargues，1591—1661)對合定理

一條直線與一個完全四點形的三雙對邊的交點與外接于該四點形的圓錐曲線構成一個對合的四個點偶.

一個點與一個完全四線形的三雙對頂點的連線和從該點向內切于該四線形的圓錐曲線所引的切線構成一個對合的四個射線偶.

4.2 蝴蝶定理的實質

從射影幾何的觀點看，蝴蝶定理有更為簡潔而深刻的表現形式，其實質就是笛沙格對合定理的推廣。

設A、B、C、D是平面上的四個定點，L是一條定直線。由于五點確定二次曲線，因此過A、B、C、D四點存在無窮多條二次曲線，它們與直線L的動交點P和Q是“對合”關系。這就是蝴蝶定理的本質！如圖1所示:

由于直線AB和CD合在一起，可看作退化的二次曲線，因此，AD、BC與直線L的交點P1、Q1屬于上述的對合關系。同樣，AB、CD與L的交點P2、Q2;AC、BD與L的交點P3、Q3也一樣。

也就是說，“四點形”的三組對邊與任意直線的三對交點，形成對合關系。這就是本源的迪沙格對合定理。

5 蝴蝶定理的推廣

從以上蝴蝶定理的實質，我們繼續考慮A、B、C、D四點固定時，過四點的任意的圓錐曲線用直線截得的弦是否是中點重合的。(逆向考慮蝴蝶定理)于是我們有以下的結論:

設三條不同的二次曲線(S、S1、S2)有A、B、C、D四個公共點，其中無三點共線;又直線L0被S、S1、S2各截得一弦。若其中兩弦中點重合，則第三弦中點亦重合。如圖2所示。

注:A、B、C、D四點組成的線段可以看成是蝴蝶定理的特殊情況。

從以上結論中，我們繼續考慮若A、B、C、D四點成一點的規律排列時，有什么樣的結論。

于是我們有如下的結論:

設AB∥CD，S和S1是過A、B、C、D四點的任意兩條二次曲線。若平行于AB的任意直線與S、S1各有兩個交點，則夾在兩曲線之間的兩線段相等。

注:由于PQ可為AB與CD之間任意平行弦，皆有PE=QF，故夾在S和S1之間的兩曲邊區域△1和△2面積相等。

6 蝴蝶定理中的數學美

羅素說過:“數學在使人賞心悅目和提供審美價值方面，至少可與其它任何一種文化門類媲美。”下面我們將從幾個方面來看蝴蝶定理中的數學美。

6.1 簡潔美

蝴蝶定理的描述簡潔、樸素，圖形也簡單。但是其內容深刻，具有很大的研究價值。只有既樸實清秀，又底蘊深厚，才稱得上至美。

6.2 和諧美

蝴蝶定理的圖形是數學中的完美圖形—— 圓和自然精靈—— 蝴蝶的和諧結合，線段之間存在一定的比例關系，圖形雅致、證明嚴謹、結構無矛盾性。這種美感既是精細的，又是深邃的。

6.3 統一美

作為反映客觀事物的量的方面的屬性和規律的數學概念、定理、公式及法則等也必然是相互聯系的，在一定的條件下處于一個統一體系中。數學美的統一性正體現了數學知識的部分與部分、部分與整體之間的有機聯系。蝴蝶定理作為其一小部分，在圓上是成立的，同樣在任意的圓錐曲線上也是成立的。其證明方法涉及了幾何、代數和分析的很多方面。可以說蝴蝶定理是統一于整個數學體系的。

7 蝴蝶定理的數學教育價值

7.1 體現數學美，激發學生的學習興趣

由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名。它是圓錐圖形和蝴蝶的完美結合，加上教師的層層引導，帶領學生走進穿花狹蝶深深見、夢為蝴蝶也尋花的意境，那么幾何問題對于學生將不會再復雜，證明也將不再抽象。

7.2 多種解題的方法，開拓了學生的解題思路，更為學生的研究性學習提供了可能

對于蝴蝶定理的證明是多得不勝枚舉，涉及到了各個方面的內容，最基本的射影幾何、運用函數解析式以及多項式根的證明方法等等，若通過學生的自主探究學習，積極地去建構知識，對于問題一定有更深層次的認識。并且通過自主學習也可以提高學生的合作交流、分析問題和解決問題的能力。是一個研究的好課題。

7.3 證明的靈活性可以激發學生后續的學習興趣

蝴蝶定理除了常見的證明方法，還有沒有其它更簡潔的證明方法？這時老師就可以通過所學的知識與其結合起來，引發學生去思考更簡潔的方法。這就開啟了學生邁向高等幾何的大門。

參考文獻

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