數學換元思維方法的應用

摘 要:目的通過換元方式對微分方程通解的推證，突出換元思維解決問題的重要性。方法區別于傳統形式的推證，從基本知識的學習中培養創新意識的形成。結論倡導多向思維能力的養成，注重解決問題方法的多樣性及方法結構的改變。

關鍵詞:通解公式換元結構改變

中圖分類號:G642文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)07(c)-0134-01

引言

數學中，換元思維方式是數學中解決許多問題的重要方法，它對于推動數學本身的發展，也是功不可沒。對于數學內容，教學方法的創新，更是有良好的啟發和指導意義。就解決問題而言，換元思想的思維方式，許多情況下，更具有改變解決問題方法結構性的創新。以下結合最近在數學微分方程內容的教學中的實踐應用，看換元思維方法對創新教學的意義。

1 問題及現狀

現在許多教科書及輔導書，對于微分方程的內容，處理方法大部分都拘泥于一種形式顯得有些呆板，對于換元的方法，在齊次方程的處理和伯努利方程的求解上有些應用，另外在可降階的微分方程中也有簡單應用，這些就不一一列舉了(見參考文獻)。

2 換元方法的應用

我們用換元方法來推導微分方程中重要的兩類:一階線性微分方程、二階微分方程的求解與簡化公式。

2.1 一階微分方程通解公式的推導

一階微分方程的標準形式: (1)

這里，為已知的自變量為的函數，我們引入變量代換，于是得:

代入(1)則得:

整理上式得: (2)

選擇使得，則可得

解得: (3)

由此方程(2)成為:(4)

將(3)式代入(4)式解得

所以有

故:(5)

這一通解公式的得出，避免了常數變易形式的思維方式不易被初學者接受的弊端，突出了數學思維與邏輯在數學推導公式中作用，不失為一個好的方法。

2.2 二階微分方程求解的結構變形推導

一般的二階線性方程為:(6)

其中均為的已知函數。

用代換形式，我們設，則

，，將以上及代入(6)則得: (7)

選擇使得，則可得，于是(7)式變為: (8)

設;

這樣(8)式可成為:(9)

這里稱(9)式為二階標準方程。

若(9)式能解出，則(6)式也能解出，不言而喻(9)式比(6)容易解出。

這里實際上通過換元方式改變了方程的結構。

例1.求解。

解:與上述一般方程比較，由，，，

，得出本題的標準方程為

于是由齊次型方程的通解解得

因此

3 結語

提出問題和解決問題，是推動知識科技進步的源動力。解決問題的方法與思維形式，是形成知識結構的核心。現在，我們的許多發明與創造，無一不源自基礎科學的研究成果。從培養創新人才的要求講，我們要在教學實踐及研究工作中不斷解決問題，提出新的方法思路。重視數學的各種思維方法的應用，鼓勵多向思維，使科學素質得到全面發展。

美國科學哲學家庫恩認為“科學進步不是不斷積累知識并形成傳統，而是結構的變化”。創新從來就是對傳統習慣的革新，不墨守單一的方法與結構形式，尋找多種方法解決問題無疑是創新思維的必由之路。

參考文獻

[1]高等數學.同濟大學數學與應用教研室，高教出版社，2007，5.

[2]侯風波.高等數學.高等教育出版社，2003，2.

[3]李天然.高等數學.高等教育出版社，2002，1.