應用二重積分解決定積分問題

摘 要:在二重積分的計算中我們通常都是利用定積分的思想去解決問題，本文中筆者逆向思維，將結合具體實例介紹利用二重積分的計算去解決定積分中的問題。

關鍵詞:二重積分的計算定積分的計算定積分的不等式

中圖分類號:O155文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)07(c)-0131-01

二重積分的定義即對一個和式取極限，其思想“分割，近似，求和，取極限”沿用了定積分的定義中對和式去極限的思想，在二重積分的計算中將其化為累次積分進行計算的過程，本質上就是兩個定積分的計算乘積的過程等等，這些我們都是采用定積分的思想去解決二重積分的問題。但是，本文作者則將二重積分做為工具去解決定積分中的計算和不等式問題。

1 利用二重積分解決定積分中的計算問題

在二重積分的計算中，我們通常采用的方法是化二重積分為累計積分進行計算，這一計算過程本質上是定積分的計算。但是，反過來我們可以利用二重積分去解決一些不易找到原函數的定積分的計算，下面我們就結合具體實例來看看二重積分在這些方面的應用。

1.1 利用二重積分計算瑕積分

例1:計算如下瑕積分.

[分析]在計算曲頂柱體體積時，利用“微元法”思想計算“平行截面面積為已知的立體體積”

因此，曲頂柱體體積

從而聯想到，如果，即可將這一定積分問題轉化為二重積分進行計算。

解:由于，所以所求積分

1.2 利用二重積分計算廣義積分

例2:計算如下廣義積分.

[分析]要計算該廣義積分，即計算，記，則

從而，將問題轉化為計算，而

其中，進而將問題轉化為計算二重積分.

解:令，則:

，所以

而，

同理可計算

所以.

從而

所以，根據兩邊夾法則可以得到:

因此，所求積分.

2 利用二重積分解決定積分中的不等式問題

數學中的證明題目，往往不易尋找證題規律。定積分中的不等式的證明問題更是如此，但是這類題型往往對于概念、命題、定理、性質的理解有著極大的幫助。下面我們就從實例出發，利用二重積分做為工具去解決定積分中的不等式證明問題。

例3:若在閉區間上連續，且，試證明如下不等式:.

[分析]由于積分結果與積分變量的形式無關，因此不等式左端

其中，從而將這一證明問題轉化為二重積分的計算問題。

解:由于

同理，也有.

因此，，又由于在閉區間上，所以，所以

即.

本文通過實例展現了二重積分在計算中的應用魅力，不僅可以幫助學生進一步加深對重積分概念的理解，同時有助于培養學生的邏輯思維和抽象思維能力，從而提高學生分析問題和解決問題的能力。

參考文獻

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