淺談高考數(shù)學(xué)中的四種數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的核心，是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，它是對(duì)數(shù)學(xué)概念、方法和理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)中，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)觀念，它們不僅與數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程同步發(fā)生、發(fā)展，而且貫穿于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)、理解和運(yùn)用過程當(dāng)中。正因如此，對(duì)數(shù)學(xué)思想的考查是考查考生能力的必由之路。研究近年來(lái)的高考數(shù)學(xué)試卷，不難發(fā)現(xiàn)高考中著重考查以下四種數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想。高考中是如何考查這些數(shù)學(xué)思想呢？筆者現(xiàn)結(jié)合近年來(lái)的高考試題作些探討。

一、函數(shù)與方程的思想

（一）要點(diǎn)概述

函數(shù)是高中代數(shù)內(nèi)容的主干，它主要包括函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)及幾類典型的函數(shù)。函數(shù)的思想是對(duì)函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括與提煉，是從函數(shù)各部分的內(nèi)在聯(lián)系和整體角度來(lái)考慮問題、研究問題和解決問題的。具體來(lái)說(shuō)，就是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)、集合與對(duì)應(yīng)的思想，即用函數(shù)的觀點(diǎn)去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系和構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決，它是對(duì)函數(shù)概念和性質(zhì)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。

函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的，函數(shù)與方程、不等式是通過函數(shù)值等于零、大于零或小于零而相互關(guān)聯(lián)的，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系。函數(shù)與方程的思想，既是函數(shù)思想與方程思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運(yùn)用的體現(xiàn)，是研究變量與函數(shù)、相等與不等過程中的基本數(shù)學(xué)思想。

（二）在高考中的運(yùn)用

高考中把函數(shù)與方程的思想作為四種思想方法的重點(diǎn)來(lái)考查，使用選擇題和填空題考查函數(shù)與方程思想的基本運(yùn)算，而在解答題中則從更深的層次，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處，從思想方法與相關(guān)能力相綜合的角度進(jìn)行深入考查。

二、數(shù)形結(jié)合的思想

（一）要點(diǎn)概述

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面“數(shù)”與“形”兩者之間不是獨(dú)立的，而是有著密切的聯(lián)系。數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面。

（二）在高考中的運(yùn)用

高考中的客觀題為考查數(shù)形結(jié)合思想提供了方便，能突出考查考生將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形問題來(lái)解決的意識(shí)。解答題中對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查以“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化為主。

（三）提煉

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用主要是借助形的主觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，其次是借助數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。

三、分類與整合的思想

（一）要點(diǎn)概述

分類是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究的基本邏輯方法，是研究數(shù)學(xué)問題時(shí)經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)思想方法。要正確對(duì)事物進(jìn)行分類，通常應(yīng)從所研究的具體問題出發(fā)，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后根據(jù)對(duì)象的屬性，把它們不重不漏地劃分為若干個(gè)類別，并逐類求解，然后綜合得解。分類與整合的研究基本方向是“分”，但“分”與“合”既是矛盾的對(duì)立面，又是矛盾的統(tǒng)一體，有“分”必然有“合”，當(dāng)分類解決完這個(gè)問題之后，還必須把它們總合起來(lái)，因?yàn)槲覀冄芯康漠吘故沁@個(gè)問題的全體．有“分”有“合”，先“分”而后“合”，不僅是分類與整合思想解決數(shù)學(xué)問題的主要過程，也是分類與整合思想的本質(zhì)屬性。

（二）在高考中的運(yùn)用

有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。

（三）提煉

在高考的解答題中，對(duì)含有參數(shù)的字母進(jìn)行分類討論，是高考命題中考查分類與整合思想的熱點(diǎn)，考查函數(shù)與引導(dǎo)數(shù)的綜合問題中，考查分類與整合思想必不可少。進(jìn)行分類討論時(shí)，要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復(fù))；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。

四、化歸與轉(zhuǎn)化的思想

（一）要點(diǎn)概述

所謂化歸與轉(zhuǎn)化的思想是指在研究解決數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問題得到解決的一種解題策略。一般情況下，總是將復(fù)雜的問題化歸為簡(jiǎn)單的問題，將較難的問題轉(zhuǎn)化為較為容易求解的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題。

（二）在高考中的運(yùn)用

高考中十分重視對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化思想的考查，要求考生熟悉數(shù)學(xué)變換的思想，有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)變換的方法去靈活解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。高考中重點(diǎn)考查一些常用的變換方法，如一般與特殊的轉(zhuǎn)化，繁與簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造轉(zhuǎn)化，等價(jià)轉(zhuǎn)化等。

近年來(lái)的高考試題重在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性、深刻性，且著眼于對(duì)數(shù)學(xué)思想的全面考查。高考試題這種積極導(dǎo)向，決定了我們?cè)诮虒W(xué)及備考中必須以數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識(shí)、方法的運(yùn)用，整體把握各部分知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。只有加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)、優(yōu)化學(xué)生的思維，全面提高數(shù)學(xué)能力，才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平及數(shù)學(xué)素養(yǎng)。“授之以魚，不如授之以漁”，方法的掌握，思想的形成，才能使學(xué)生受益終生。

【參考文獻(xiàn)】

［1］ 高慧明.數(shù)學(xué)思想應(yīng)用縱橫談[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2007（1） .