“美麗的圖案”教學設計

（本課選自北師大版義務教育課程標準實驗教科書初中《數學》六年級下冊.）

一、教材分析

“美麗的圖案”這一節體現得是一前沿的數學分支——分形.安排這一內容是對傳統幾何內容的一種延伸和拓展，是將分形幾何的內容初步滲透到初中數學中來.

1.知識目標：會畫簡單的分形圖形，并會計算其邊長與周長.

2.能力目標：①對分形幾何學科有一個初步的了解，拓展學生的幾何思維；②通過計算機技術與數學學科的整合，培養學生對數學的興趣；③培養學生對科技發展前沿理論的敏感和關注意識.

3.情感目標：認識局部與整體、簡單與復雜的辨證關系，培養學生的辨證思維.

重點：會畫簡單的分形圖形，并會計算其邊長與周長.

難點：發現邊長與周長的規律性.

二、教學策略

1.準確把握教學內容的深度和廣度.分形幾何牽涉到許多高等數學知識，需要較高層次的思維能力.因此，內容的設置要充分考慮六年級學生已有的知識基礎和思維水平，所以只遴選分形幾何的基本圖形，讓學生了解其基本思想及基本原理，使學生對分形幾何有一個初步的把握.

2.用與學生已有的知識經驗、思維能力相適應的方式呈現教學內容.教材對這一節的闡述只有短短的兩頁，但蘊涵的內容很豐富.因此要充分挖掘教材，通過設置恰到好處的問題情境、設計環環相扣的教學環節，做到深入淺出，做到用教材教，而不只是在教教材.

三、教學流程

1.創設情境引出問題

首先設置這樣一個問題情境，我們都生活在北方，對雪花并不陌生.先請學生描述雪花的形狀.由于雪花的形狀不規則，所以學生的描述不一定準確.于是采取放大雪花局部的方式，使學生對雪花的形狀有一個初步認識.進而引出課題：同學們想不想學一學如何畫“雪花”呢？我們這節課就來一起研究這個問題.

2.從簡入繁 做好鋪墊

3.自然過渡 引出正文

運用發現的規律，得出圖形Ⅳ的長度.進一步引導，圖形Ⅳ的形狀又是怎樣的？先讓學生想象，再用電腦演示曲線的生長過程.讓計算機技術在數學可視化方面發揮作用.雪花已呈現出一角，但這只是一個局部.請學生思考，如何完整地畫出一個雪花？學生經過討論，得出結論：在等邊三角形的每一邊上重復剛才的操作指令.但操作指令的一些地方需調整.比如，將第一條指令的“這條線段”改為“等邊三角形的每一邊”；將第二條指令的“向上”改為“向外”.在這個過程中，預見到一些學生可能會有不同意見，他們會認為是在三角形或正六邊形的每一邊上重復上述操作指令才會得到雪花曲線.作為教師，不要輕易地對學生的想法做出評判.這個問題留到后面解決.

4.逐步生長 探究規律

有了前面的鋪墊，這一部分教師可以放手，只需適時地給學生以引導.學生將等邊三角形的每一邊重復剛才的操作，得到前兩次生長的曲線.如果將這樣的過程繼續下去，會生成什么樣的圖形？（電腦演示.）

讓學生感受到：這樣的過程重復的次數越多，得到的圖形和雪花越相似.教師進一步提問：當圖形這樣一次次生長，它的邊長和周長會怎樣變化呢？給出表格，讓學生探索邊長和周長的規律.

在這里，讓學生經歷一個由“特殊”到“一般”的探索過程.先是等邊三角形的邊長為9、周長為27，然后是邊長為1、周長為3，最后用a表示邊長，周長即為3a.讓學生體會用字母表示數的優越性，初步向學生滲透代數知識.根據發現的規律，當這樣的生長無限次時，雪花曲線的周長也是無限的.那么，它所圍成的面積又如何呢？這是高中我們要繼續研究的內容.在發現規律時，是通過再現曲線逐步生長的過程.這種方法也適用于高中探究面積的規律.下面再來解決前面的遺留問題：在三角形及正六邊形的每一邊上重復剛才的作圖指令，用得到的圖形來評判學生的想法，直觀且有說服力.

5.變式訓練 深化思維

到這里，我還想把內容作一下延伸，于是提出這樣的問題：仍舊還是在等邊三角形的每一邊上，（1）若把作圖指令改變一下，把“向外”改為“向內”會得到什么圖形？（2）剛才的規律還適用嗎？

我之所以設計這個環節，是因為“雪花曲線的形成及其周長的規律”是本節課的重點，通過對重點內容進行變式重置，會加深學生對這一內容的理解，深化學生的思維.

6.總結特征 引出分形

下面，我們再重新審視一下這節課研究的圖形，找出它們的特征.為了啟發學生，用任意倍數的顯微鏡去觀察雪花曲線的任一局部.學生得出了這樣的結論：放大后的局部看上去和整體的形狀是一樣的，我們把這種現象稱之為整體與局部的自相似.該圖形是數學家科赫構造出來的，被稱為科赫曲線.由于它的形狀很像雪花的外沿線，因此也被形象地稱之為“雪花曲線”.到這里，我覺得有必要介紹一下分形這一數學分支創立的背景.于是做了這樣的說明：這節課研究的圖形與以往不一樣，我們比較熟悉的像直線、圓、正方體等規則的幾何形狀是現實生活中的一種理想狀態.而自然萬物是豐富多彩、千姿百態的.比如像起伏跌宕的地貌、彎曲迂回的河流、參差不齊的海岸、光怪陸離的山川、裊裊升騰的炊煙、悠悠漂泊的白云……所有這一切，傳統幾何已無力描繪.我們需要一種新的工具來描述這真實的大自然.這新的工具就是分形.它為描述自然界中大量存在的不規則圖形提供了一種新的方法.剛才研究的“雪花”就是一個典型的分形圖形.通過上述介紹，學生就能全面地了解分形、懂得分形的價值，從而提高學生的思維品質和數學素養.然后和學生一起欣賞一組分形圖片，體會分形中蘊涵的美.并舉出其他領域中應用分形的實例.比如，在中醫學中用足底按摩減輕病痛.這是基于作為身體的一部分——腳有著全身的縮圖.這種用局部作用于整體的方式體現了分形的思想.

7.小結

（1）“雪花曲線”的整體與局部有著自相似現象；（2）對等邊三角形的每一邊重復執行同一作圖指令就可以做出“雪花曲線”，我們把這種作圖方法稱為迭代法.正是由于重復執行某一作圖指令，才造成了整體與局部的自相似，這就是分形的特征.

作業：模仿雪花曲線，你也設計一個分形作品，并標上你認為適當的名字.

8.板書

注：本課在黑龍江省初中數學教師優秀課觀摩、交流與研討活動中，榮獲省級優秀課一等獎.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文