構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,解決有關(guān)生物問(wèn)題

模型是人們?yōu)榱四撤N特定目的而對(duì)認(rèn)識(shí)對(duì)象所作的一種簡(jiǎn)化的概括性的描述，這種描述可以是定性的，也可以是定量的，有的借助于具體的實(shí)物或其他形象化的手段，有的則通過(guò)抽象的形式來(lái)表達(dá)。模型的形式很多，包括物理模型、數(shù)學(xué)模型、概念模型等。

數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題的橋梁，是數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的媒介，是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑。教學(xué)過(guò)程中，筆者嘗試用數(shù)學(xué)模型解決有關(guān)生物問(wèn)題，可以提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；同時(shí)，也使相關(guān)復(fù)雜的生物問(wèn)題變得直觀、簡(jiǎn)單和一目了然。

下面就是筆者在實(shí)際教學(xué)中，通過(guò)創(chuàng)建幾種數(shù)學(xué)模型，來(lái)解決相關(guān)生物問(wèn)題的幾個(gè)案例。

1 創(chuàng)建幾何模型，解決生物問(wèn)題

幾何模型指通過(guò)創(chuàng)建立體幾何圖形，根據(jù)幾何圖形相關(guān)知識(shí)(如定理、公理等)，直觀而形象的解決相關(guān)生物問(wèn)題。

例如：現(xiàn)行高中生物人教版必修1，在介紹細(xì)胞不能無(wú)限長(zhǎng)大時(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)“細(xì)胞大小與物質(zhì)的關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)。該實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)，筆者認(rèn)為值得商榷。原因有以下幾點(diǎn)。

(1)縱觀整個(gè)高中生物教材，在展示細(xì)胞形態(tài)時(shí)，大部分情況下，都是以近似于球形的形態(tài)出現(xiàn)，而該實(shí)驗(yàn)卻偏偏將細(xì)胞設(shè)計(jì)成了類似于邊長(zhǎng)3cm、2cm、1cm的正方體形狀。這一點(diǎn)與學(xué)生平時(shí)的認(rèn)知有嚴(yán)重沖突，學(xué)生不易理解。

(2)現(xiàn)行教材在實(shí)施“細(xì)胞大小與物質(zhì)運(yùn)輸?shù)年P(guān)系”實(shí)驗(yàn)步驟時(shí)，是這樣設(shè)計(jì)的：“將3cm、2cm、1cm的正方體放在燒杯內(nèi)，加入NaOH溶液，將瓊脂塊淹沒(méi)，浸泡10min，用塑料勺不時(shí)翻動(dòng)瓊脂塊，然后用塑料勺將瓊脂塊從NaOH溶液中取出來(lái)，用塑料刀把瓊脂塊切成兩半，觀察切面，測(cè)量每塊上NaOH擴(kuò)散的深度”。

以上過(guò)程在實(shí)際操作中存在的問(wèn)題很多，首要問(wèn)題是將瓊脂塊切開(kāi)了，不一定能看到酚酞浸入，即使能看到酚酞浸入了，但由于擴(kuò)散速度的不均勻，深度也不易測(cè)量和計(jì)算。鑒于以上原因，筆者摸索出了通過(guò)創(chuàng)建幾何模型的方法，直觀地向?qū)W生闡述：細(xì)胞為什么不能無(wú)限長(zhǎng)大的原因。

首先假設(shè)細(xì)胞就是球形，那么它的表面積就相當(dāng)于細(xì)胞的細(xì)胞膜。根據(jù)細(xì)胞膜具有控制物質(zhì)進(jìn)出的功能，可以將細(xì)胞膜的表面積理解為：細(xì)胞單位時(shí)間所攝人的營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)的量；則表面積與體積的比值就可以理解為：細(xì)胞單位時(shí)間單位體積所攝入的營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)的量。根據(jù)球形表面積、體積的數(shù)學(xué)公式，推出S／V=4πR²／(4／3πR³)=3／R，當(dāng)S／V=3／R－0時(shí)，得出R－+∞。文字含義就可以表示為：細(xì)胞單位時(shí)間、單位體積攝入營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)的量為零時(shí)，細(xì)胞就可以無(wú)限制的長(zhǎng)大。很顯然，這個(gè)觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。通過(guò)以上幾何模型的創(chuàng)建，學(xué)生很容易就能理解：細(xì)胞的表面積與體積的關(guān)系，限制了細(xì)胞不可能無(wú)限制的長(zhǎng)大。

此實(shí)驗(yàn)方法的設(shè)計(jì)與原實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)相比，優(yōu)點(diǎn)主要有：①通過(guò)具體的模型創(chuàng)建，利用學(xué)生學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，準(zhǔn)確地解決了問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新學(xué)習(xí)的能力；②把細(xì)胞設(shè)計(jì)成球形，更形象地展示了細(xì)胞通常情況下的一種狀態(tài)，更接近現(xiàn)實(shí)、貼近現(xiàn)實(shí)，有助于培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的品質(zhì)。

2 創(chuàng)建函數(shù)模型，解決生物問(wèn)題

函數(shù)模型指某個(gè)具體問(wèn)題通過(guò)“建?！?，轉(zhuǎn)化成函數(shù)或方程式，進(jìn)而解決問(wèn)題的一種方法。運(yùn)用到生物中，就將具體的生物問(wèn)題，通過(guò)運(yùn)用生物原理和數(shù)學(xué)方法將問(wèn)題中所展示的生物關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)，然后利用數(shù)學(xué)知識(shí)和生物規(guī)則求解。

例如：現(xiàn)行高中生物人教版必修1，在介紹核酸所含成分時(shí)，利用了圖1進(jìn)行對(duì)比。

由于該圖不夠形象直觀，常導(dǎo)致學(xué)生解題時(shí)失分率較高。在教學(xué)中，如果教師引入函數(shù)思想，創(chuàng)建函數(shù)模型，就能做到既直觀，又簡(jiǎn)便且容易記憶。具體做法如下：

依據(jù)核苷酸分子組成，可以把每個(gè)核苷酸分子看成是關(guān)于五碳糖和堿基這兩個(gè)變量的二元一次函數(shù)，記作f(x，y)=x+y+P，其中x∈{核糖，脫氧核糖}，y∈{A，G，C，T，U}，P(磷酸)可看作是常數(shù)，同時(shí)當(dāng)x=核糖時(shí)，y≠T，當(dāng)x＝脫氧核糖時(shí)，y≠U。據(jù)此可以畫(huà)出下列函數(shù)模型(圖2)。

此函數(shù)模型中，每個(gè)直角三角形分別代表一種核苷酸，第一象限為DNA區(qū)，含有4種脫氧核糖核苷酸，如APD代表腺嘌呤脫氧核糖核苷酸；第二象限為RNA區(qū)，含有4種核糖核苷酸，如APR則代表腺嘌呤核糖核苷酸，由此可形象直觀地表明組成DNA、RNA及DNA和RNA的成份之間的聯(lián)系與差別。

題1：煙草、煙草花葉病毒及噬菌體體內(nèi)的堿基和核苷酸種類依次是( )

A 8、4、4和5、4、4

B 5、4、5和8、4、8

C 8、4、4和5、4、4

D 5、4、4和5、4、4

題2：在細(xì)菌體內(nèi)，由A、G、T、C 4種堿基參與構(gòu)成的核苷酸共有( )

A 八種

B 七種

C 五種

D 四種

以上兩道題目，只要學(xué)生心中具有上面的函數(shù)模型，就能立即選出A和B分別為題1和題2的正確答案。

3 創(chuàng)建數(shù)形結(jié)合模型，解決生物問(wèn)題

數(shù)形結(jié)合模型就是指圖形與數(shù)的結(jié)合，數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩類基本對(duì)象。數(shù)量關(guān)系如果能借助于圖形性質(zhì)，可以使許多抽象的概念和關(guān)系直觀而形象化，有利于探求解題的途徑，通常稱為以形助數(shù)，而有些涉及圖形的問(wèn)題就能轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，又可以獲得嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕夥ǎ此^以數(shù)輔形。這是相輔相成的兩個(gè)方面，在生物解題過(guò)程時(shí)，如能經(jīng)?？紤]數(shù)形結(jié)合，則可使解法別開(kāi)生面。

例如：現(xiàn)行高中生物人教版必修2教材，在介紹低溫和一定濃度的秋水仙素處理萌發(fā)的種子或幼苗，能夠引起細(xì)胞內(nèi)染色體數(shù)目加倍的應(yīng)用時(shí)，用常規(guī)方法來(lái)分析配子的基因型及比例，過(guò)程相當(dāng)繁瑣，且學(xué)生不易理解。下面通過(guò)具體的題目來(lái)進(jìn)行詮釋。

題3：基因型為Aa的番茄，經(jīng)適宜濃度的秋水仙素處理使其染色體加倍為四倍體后，在減數(shù)分裂時(shí)，形成配子的基因型及比例為_(kāi)______。

基因型為Aa的番茄二倍體，經(jīng)適宜濃度的秋水仙素處理后，變成四倍體AAaa，這四個(gè)基因位于四條同源染色體上，在減數(shù)分裂形成配子的過(guò)程中，兩兩隨機(jī)分到一極。此題如果按常規(guī)方法解題，就要分3種情況討論、分析、綜合，最后才能得出正確的答案。但如果通過(guò)創(chuàng)建數(shù)形結(jié)合模型，以基因型AAaa中的4個(gè)字母A，A，a，a為四個(gè)頂點(diǎn)，創(chuàng)建下列數(shù)形結(jié)合模型(圖3)，就回避了繁瑣的分情況討論的過(guò)程，且答案也一目了然。