“對稱性”在高中物理中的應用

正如“對稱與近代物理”專題的主編和主講楊振寧博士所說：對稱的概念像人類文明一樣古老，它是如何誕生的，也許是一個永恒的秘密。但是大自然中的對稱現象卻隨處可見，對稱是大自然的奇妙特性之一。隨著文明的發展，對稱性的概念逐漸擴展到繪畫、雕塑、音樂、建筑、文學等人類活動的各個領域，它更是現代物理學的基本思想，是現代物理學的基本研究方法之一。

然而在中學階段雖有很多對稱性問題，但很少讓學生運用對稱性概念去分析問題，似乎它深不可測，其實對稱性概念可以應用在一些高深的物理問題中，也可以應用到一些簡單的中學物理問題中去。作為中學物理教師，我覺得在中學階段就應該讓學生認識對稱性，了解對稱性，知道對稱性的重要性，并且能夠運用對稱性解決一些具有對稱性的簡單問題。這樣做，對培養學生的創新科研能力，培養學生的反向思維能力和發散性思維能力，培養學生的判斷能力都會有極大的幫助。

一、對稱性在高中物理中的具體表現

1．在力學中，自由落體和牛頓運動定律都表現出一定的對稱性。對于一個做自由落體運動的質點，它的位移 速度 和加速度 與時間 的關系分別為： s=gt，v=gt，a=g ，如果把t換為-t，得到：s=gt，v=gt，a=g。可以說，對一個做自由落體運動的質點進行時間反演操作后，它的位移仍是原值，速度的方向與原來相反、速率不變，加速度的大小和方向均不變。這表明豎直上拋運動和自由落體運動是對稱的。再看牛頓第三定律，其數學表達式為=，這表明，作用力和反作用力統一在一個相互作用的過程之中，有作用力必有反作用力，它們是互相聯系、互相依存的，其力的性質也必然相同。作用力是彈性力，反作用力也一定是彈性力，作用力與反作用力是永遠不可能抵消的。除此之外，運動和靜止、功和能、簡諧運動和平面簡諧波等都表現出具體的對稱性。

2.在電磁學中，點電荷周圍的電場是球對稱的；具有規則形狀的網格電路是對稱的，此外，對稱性的具體表現還有：在等勢面上，檢驗電荷的電勢能大小處處相等；描述電子在庫侖場中運動的球函數體現了很高的對稱性；封閉體系內，正負電荷的代數和在任何物理過程中始終保持不變，等等。

3.在熱學和光學以及近代物理初步中，對稱性也體現得非常具體。比如，晶體的結構具有很高的對稱性，光的反射定律，折射定律以及平面鏡成像中物與像的對稱都體現了對稱性。此外，熱力學第一定律也表現了對稱性；光的干涉條紋和衍射條紋具有一定的對稱性；當然在光路可逆性原理中，物可當作像，像也可視為物同樣是對稱性的表現；愛因斯坦的相對論更是對稱性的表現，等等。

二、利用對稱性分析高中物理問題

中學物理中，不論是在力學、電磁學，還是在熱學、光學中處處都體現出對稱性。中學教師在物理課程的教學中經常遇到大量的對稱性問題，面對這些問題，如果利用對稱性分析常常可使問題變得簡單易解。下面針對高中物理中的一些對稱性問題舉例說明。

1.對稱性在高中力學中的應用

例1、在高中物理的學習中，常常要研究物體的上拋運動問題。假如有一個作豎直上拋運動的物體，如圖1所示，到達最高點的最后一秒內的高度是它上行到最大高度的1/5，求這個物體上升的最大高度是多少？

解析：對于這個問題，如果用通常的方法來解，設上拋的初速度為V，最大高度為h，時間為t，

聯立方程組，解得h=25(m)，t=(s)。但是這種方法顯得較為麻煩。

現在，用對稱性方法，先對這種上拋運動作一個簡單分析。物體的上拋運動，在時間的反演變換下就變成了一個自由落體運動，由運動的對稱性可知，物體作豎直上拋運動到達最大高度前的最后一秒鐘上升的高度，正好就是物體作自由落體時最初一秒鐘內落下的高度。因此，馬上就可以得到物體最大高度為

h=5×（1/2）gt=5×(1/2)×10×1m=25(m)

從而使處理問題大為簡化。

例2、受力分析是高中物理的一個重點，考慮這樣一個問題，如圖2所示，這是兩個用彈簧連接的物體，質量分別為和，彈簧的勁度系數為k，求需要多大的壓力F加在 上，才能在壓力撤去后跳起來時，剛好把也提起來？

解析：對于這個問題，通常是用機械能守恒定律來進行求解，初始狀態的速度為0，最后狀態的速度仍然為0，則設開始時彈簧被壓縮了，剛好彈起的瞬間彈簧伸長了 ，根據機械能守恒定律，

由此可以看出用機械能守恒的方法來解，過程較為復雜，下面用對稱性分析來解。從這個物理體質的對稱性來看，彈簧是一個具有對稱性的物體，對于輕質彈簧，用力F壓它，松手后彈簧伸長，效果上與用同樣大小的力F拉彈簧所產生的情況相當，即運動過程具有時間反演不變性。因此為了使物體跳起來時下面的物體 剛好能被拉起來，這時彈簧發生的形變應該與用一個力f提起這個系統使下面物體剛好被拉起來一樣，而這個力f至少要等于系統的重量，也就是

f=(m+m)g

根據彈簧的對稱性， F也至少應該為f，則有

F=f=mg+mg

可見，不用去求解方程式，直接分析系統的對稱性，就可以簡單找到結果。

2．對稱性在高中電磁學中的應用

在電磁學中，利用對稱性分析，也可以使問題得到大量化簡，從而減少變量，化繁為簡，使計算大為簡化。

例3如圖3，電荷q均勻分布在半球面ABC上，球面的半徑為R，CD為通過半球面頂點C與球心O的軸線，PQ、 為CD軸線上離O距離相等的兩點。己知P點的電勢為U ，試求Q點的電勢U。

解析：本題中只有半個帶電球面，顯然用中學的知識無法直接求出Q點的電勢U ，但從題中可以知道P點的電勢U ，并且P點離球心的距離與Q點離球心的距離相等。為此，在半球面ACB的右側填補一個相同的帶電半球面ACB，那么， ACB在Q點的電勢U可以看作整個帶電球面在Q點的電勢減去右半球面 在ACB點的電勢。

由于整個帶電球體在Q點的電勢為k#8226;，又根據對稱性，半球面ACB在Q點的電勢和半球面ACB在P點的電勢相等，也為U，所以U=K#8226;-U

3．對稱性在高中光學中的應用

在光學中，反射定律與折射定律體現了具體的對稱性。反射定律中，反射線位于入射面內以及折射定律中，折射線也位于入射面內，這兩個結論如果用對稱性來分析，就很容易得出結論。

由于兩種介質分別是均勻的，光如果由A點發射，在C點反射，設xoy平面為兩種介質的界面，那么，如果反射線在坐標系的第1卦限，由相同的理由，反射線也應在坐標系的第2卦限，因此，反射線必須在yoz平面內，這就說明了入射線，反射線，入射點的法線必須共面的原因。這個問題也可換一個提法：若從A點發射出的光經反射后到達B點，那么A點，B點和反射點C所確定的平面必然垂直于界面。如果不是這樣，例如，在圖4中X點的X坐標大于零，那么根據問題的對稱性， C點的X坐標也應該小于零，所以C點的X坐標只能等于零。

在折射定律中，若兩種介質分別是均勻的，那么折射線也應在入射面內，這也可以由問題的對稱性，仿照上面的討論得出。

三、結束語

通過以上的分析討論，我們知道物理學處處體現了對稱性，處處應用了對稱性。中學物理中，不論是力學、電磁學，還是其它的分支中都存在大量的與對稱有關的問題。對那些物理問題，利用對稱性分析的方法來解題，可以免去大量繁雜的數學運算，并且物理意義明顯，物理過程清晰，突出科學思想。在這些問題中，如果離開了對稱性，則有些求解是較為復雜的。

鑒于對稱性在物理解題中的重要作用，在中學物理這一層次的教學中，教師應該把“物理中的對稱性思維”融于教學中，在教授相關內容時要特別重視引導學生從對稱性的角度思考問題，通過對一些具有對稱性問題的分析解答使學生了解一些普通的對稱性思想。更為重要的是，這樣做有利于培養學生學習物理的興趣，能讓學生得到一些學習規律和方法，激發學習中的靈感，還可以提高學生的解題能力，提高學生的物理直覺。雖然說對稱性在物理學深層領域的研究已經比較完善，在普通物理，特別是中學物理中的研究卻往往被人忽視。萬事都是從小做起、從基礎做起，我想人們應該重視對稱性在中學物理這一領域的重要性。因此，對于中學物理教育工作者來說，如何在教學中向學生傳授一些對稱性思想，利用物理學中的有關事實說明對稱性的重要性及應用，無疑是一個值得重視，值得進一步探討的問題。

（作者單位：浙江省常山第一中學）

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