洗多少次牌能夠還原?

據說(只是據說)楚漢相爭之時，韓信為無聊的士兵們發明了一種紙牌游戲，因為牌面只有樹葉大小，所以被稱為“葉子戲”。而到元朝的時候，又據說中國人民的老朋友馬可·波羅同志將“葉子戲”帶入歐洲，進而演變成為如今的“撲克牌”(老馬被塑造得真辛苦，帶了N項發明到歐洲)。不過咱們今天要講的問題可不是撲克牌的發展史，而是歷來讓人絞盡腦汁的洗牌問題。具體一點就是：最少洗多少次能夠讓一副牌還原呢?

洗牌方法的確定

所謂無規矩不成方圓，在進行研究之前，咱們先得確立一種洗牌方法作為標準。這里就以使用廣泛的“交叉洗牌法”為例。當然了，為了便于量化討論，咱們這里所說的交叉洗牌法要能夠做到完美交叉，也就是每兩張牌互相交叉。舉個例子吧，從A到10的排列好的10張牌從中間分成兩疊，一疊是A到5，另一疊是6到10，那么完美交叉后10張牌的順序就只會有兩種：A，6，2，7，3，8，4，9，5，10或者6，A，7，2，8，3，9，4，10，5。說白了也就是第一張牌到底在上還是在下的區別，按照此區別，前一種被稱為“外洗”，后一種則被稱為“內洗”。為什么要做這樣的區別呢?玄機在于其實一次外洗可以看作是對少兩張牌的一疊牌進行的內洗，比如在剛剛的10張牌中，除去最后兩張9和10，那么剩下8張牌的內洗結果就是5，A，6，2，7，3，8，4，與10張牌的外洗結果順序一致。這樣一來的話，接下來的推理中我們只需要先考慮一種方法即可，那就是內洗。

循環洗牌的過程

快把你的思緒理清，讓我們進入讓人頭大的循環洗牌過程。對按照從小到大排列好的10張牌進行反復內洗……洗五次之后，10張牌的順序就會變成：10，6，2，9，5，A，8，4，7，3。也就是正好與最初的順序相反。以此類推，洗10次之后就會回到最初的順序。歸納一下可以得出，每洗一次牌，這10張牌就會沿著A→2→4→8→5→10→9→7→3→6→A的順序向前推進一步(如圖所示)。這樣看起來似乎很簡單嘛，有什么好講的?但問題在于這樣的1O張牌并不具有典型的代表性，因為它只有一種循環方式。如果是8張牌的話，你就會發現，一共有兩種循環方式：A→2→4→8→7→5→A以及3→6→3。很明顯，第一種循環每洗6次牌就回重復，而第二種循環每洗兩次牌就會重復。這樣交叉重復的結果就是，當一種循環第一次回到原點的時候，第二種循環已經重復3次了，也就是說其實洗了第6次以后，這8張牌就已經復原了。實際上在整副牌的循環洗牌過程中，這樣的情況更加居多，因此也是我們必須要加以考慮的。

推而廣之

其實我們可以發現，不管牌數的多少，各個牌的位置變動都可PAR剛剛的那8張牌一樣分為若干種循環。因此我們想要知道最少洗多少次能夠讓一整副牌還原的話，就得了解對于52張牌(去除兩張Joker)而言，到底有哪些循環，其中又有多少重復的情況是可以去除的。其實問題的關鍵在于一個很簡單的數學概念，那就是我們從小學起便熟知的“最小公倍數”。例如一疊牌一共包含兩種循環，第一種循環需要洗8次復原，第二種循環需要洗10次復原，那么第一個循環中的各張牌在洗了8次、16次、24次……后將回到其最初位置，而第\"k循環中的各張牌在洗了10次、20次、30次……后將回到其最初位置，也就是說這疊牌要回復到最初狀態，所需要的最少次數為8和10的最小公倍數：40。

如此一來是不是清楚了許多了呢?接下來就要找一找52張牌到底有多少循環，各需要幾次完成。說白了有點類似于找數組規律的問題，通過不斷地嘗試，我們可以發現當一疊牌有4張、6張、8張、10張、12張、14張、16張、18張、20張、22張和24張牌時，分別需要洗4次、3次、6次、1O次、12次、4次、8次、18次、6次、11次和20次牌才能復原。接下來就從這些數據人手找找規律吧……(此處省略若干字)……在耗費了大量腦細胞以后，終于得出結論：如果牌數為m，則用2的n次冪除以(m+1)，直到其余數等于1，那么此時n的數值就是所需要的最少內洗數。比如在剛才的例子中，10張牌時2¹⁰／11的余數正好為1，8張牌時2⁶／9的余數也正好為1。按照該規則延伸，如果用2的n次冪除以(m-1)，直到其余數等于1，那么此時n的數值就是所需要的最少外洗數。

總算有了確切的公式，接下來的問題就好辦了。用數字52帶入其中嘗試(找個余數計算器來用吧)，可以發現2⁵²／53的余數為1，也就是說一副牌至少內洗52次才能還原，這……是不是感覺很蛋疼?沒關系，咱們再試試外洗，結果2⁸／51的余數正好為1，也就是說一副牌最少只需外洗8次就能還原，看樣子還是外洗犀利啊。既然結果已經揭曉，本文也就到此為止了，最后奉勸各位童鞋，不要走邪門歪道去研究老千技巧，所謂小賭怡情，大賭玩命哦!