三次函數(shù)對稱中心的討論

三次函數(shù)近幾年在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，除了對函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值等的討論，關(guān)于三次函數(shù)的對稱中心的問題讓一些同學(xué)摸不到頭腦，本文對三次函數(shù)中心對稱的問題進(jìn)行了討論，旨在對三次函數(shù)的性質(zhì)有進(jìn)一步的了解。

對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d，一個(gè)疑問就是其圖形是否仍然象一次、二次函數(shù)那樣具有對稱性？如果對稱，是軸對稱還是中心對稱？如果有對稱性，對稱軸（中心）又是多少？

分析：因?yàn)槿魏瘮?shù)f（x）最高次項(xiàng)為三次項(xiàng)ax3，所以其圖形不會(huì)是軸對稱的。如果三次函數(shù)f（x）可以寫成x3與x的線性表達(dá)式，即f（x）=kx3+lx，那么該三次函數(shù)一定是中心對稱的，并且其對稱中心為（0，0）。推而廣之，如果三次函數(shù)可以寫成f（x）-y0=k（x-x0）3+l（x-x0），那么它同樣是中心對稱的，并且其對稱中心為（x0，y0）或（x0，f（x0））。

照此思路，如果三次函數(shù)有對稱中心（-m，n），則必然可以表示成如f（x）=a（x+m）3+l（x+m）+n形式，從而有

f（x）=ax3+bx2+cx+d=a（x+m）3+l（x+m）+n

f（x）=a（x3+3mx2+3m2x+m3）+l（x+m）+n

f（x）=ax3+3amx2+（3am2+l）x+am3+lm+n

所以3am=b3am2+l=cam3+lm+n=d即m=l=n=d+-

即f（x）=a（x+）3+（x+）+d+-，所以f（x）是中心對稱的，且f（x）的對稱中心為（-，-+d）。

從另外的一個(gè)角度來說，如果三次函數(shù)是中心對稱的話，表達(dá)式中的二次項(xiàng)必然可以變換的過程中消除掉。由此，我們可以從消除二次項(xiàng)的角度去證明。

y=ax3+bx2+cx+d （a≠0）

=a（x3+x2）+cx+d

=a（x+）3-x-+cx+d

=a（x+）3+（c-）x+（d-）

=a（x+）3+（c-）（x+）-（c-）+d-

=a（x+）3+（c-）（x+）+-+d

即y--+d=a（x+）3+（c-）（x+）

所以三次函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（-，-+d）中心對稱的。

由以上的證明可知，三次函數(shù)有對稱中心（-，-+d）或（-，f（-）），且該對稱中心在曲線上。

事實(shí)上，通過觀察三次函數(shù)的圖形我們不難發(fā)現(xiàn)，其對稱中心也是函數(shù)的拐點(diǎn)，而拐點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)等于0。

f′（x）=3ax2+2bx+c

f″（x）=6ax+2b

令f″（x）=0，可得x=-，恰好是對稱中心的橫坐標(biāo)。

將x=-帶入f（x）的表達(dá)式，可以求得對稱中心的縱坐標(biāo)

f（-）=a#8226;（-）3+b#8226;（-）2+c#8226;（-）+d

=-+-+d

=-+d

因此，利用二階導(dǎo)數(shù)f″（x）=0容易得出對稱中心為（-，-+d），實(shí)際使用時(shí)這種方法更適合于求解選擇題和填空題。

下面，我們通過一道題目來體會(huì)一下利用三次函數(shù)中心對稱性質(zhì)求解題目的方便之處。

已知三次函數(shù)f（x）=x3+3x2+6x+14，若實(shí)數(shù)a，b滿足f（a）+f（b）=20，那么a+b的值是多少？

如上圖，如果三次函數(shù)的對稱中心為（m，n），則任意兩個(gè)關(guān)于對稱中心的對稱的點(diǎn)（a，f（a））和（b，f（b）），由對稱的性質(zhì)可知，a+b=2m，f（a）+f（b）=2n。

由前面討論的內(nèi)容可以求出對稱中心。

f′（x）=3x2+6x+6

f″（x）=6x+6

令f″（x）=6x+6=0得到x=-1，而f（-1）=10

即三次函數(shù)f（x）的對稱中心為（-1，10）

所以任意兩個(gè)關(guān)于（-1，10）中心對稱的點(diǎn)，

滿足a+b=2×（-1）=-2，f（a）+f（b）=2×f（-1）=20

所以a+b=-2。

由此可以看出，利用三次函數(shù)中心對稱的性質(zhì)解相關(guān)問題事半功倍。

（作者單位：重慶市第一中學(xué)）