注重層次設(shè)計 培養(yǎng)思維品質(zhì)

心理學(xué)研究表明：人的認(rèn)識總是由淺入深，由表及里，由具體到抽象，由簡單到復(fù)雜的.教學(xué)活動是學(xué)生在教師引導(dǎo)下對新知的一種認(rèn)識活動，因而必須遵循人的認(rèn)識規(guī)律.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)在整個教學(xué)過程中至關(guān)重要；概念教學(xué)的層次設(shè)計就是根據(jù)人的認(rèn)識規(guī)律，把學(xué)生的認(rèn)識活動劃分為不同階段，在不同的階段完成不同的教學(xué)任務(wù)，通過逐步深化，有效地開發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，使學(xué)生在較高層次上掌握所學(xué)概念.本文僅就數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，各個層次如何培養(yǎng)思維能力，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，談一點粗淺的體會，并以此求教于各位師友.

一、引入概念，創(chuàng)造“逼人期待”的懸念，培養(yǎng)思維的主動性

在引入“復(fù)數(shù)”時，先讓學(xué)生求解這樣一個問題：

已知a+1a=1，求a2+1a2的值.

學(xué)生感到很容易，a2+1a2=a+1a2-2=12-2=-1.

對結(jié)果又感到迷惑不解：

“a≠0，a2，1a2>0，可為什么兩個正數(shù)之和為-１呢？”這時，教師指出：“這實際上是因為a+1a=1無實數(shù)根造成的，大家學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)以后就會理解了，那么‘復(fù)數(shù)’到底是怎樣的一種數(shù)呢？”這就引發(fā)了學(xué)生心理上的懸念，使其興趣盎然，求知的熱情油然而生，進(jìn)而表現(xiàn)為以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)為樂趣，在獲得知識的同時有一種愜意的滿足感.這就使學(xué)生沉浸于對新知識的期盼、探求的情境之中，積極的思維活動得以觸發(fā)，也就培養(yǎng)了學(xué)生思維的主動性.

二、全面分析概念，揭示本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的準(zhǔn)確性和縝密性

在引入一個新的概念后，不僅要從字面上分析，更要從事物a+1a=1的本質(zhì)、事物的整體及事物的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，對概念進(jìn)行全面分析，突出其主要性質(zhì)，揭示其本質(zhì)，只有如此才能使學(xué)生切實理解和掌握概念的內(nèi)涵.對概念的分析和理解，我認(rèn)為主要應(yīng)包括以下幾個層次：

1.淺 化

它包括把抽象的概念具體化，通過具體的數(shù)、式或運算，形成學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的初步印象，即把復(fù)雜的概念簡單化，分解為若干簡單的部分，使學(xué)生通過對各部分的理解來完成對整個概念的理解.比如在引入反正弦函數(shù)的概念后，引導(dǎo)學(xué)生明確arcsinx的意義：arcsinx是一個角（也是一個數(shù)——弧度數(shù)）.首先使學(xué)生形成對反正弦函數(shù)的“主體”印象——角，然后強調(diào)這個角滿足兩個條件：

（１）這個角在-π2，π2上；

（2）這個角的正弦值是x.

如（具體化）：arcsin12是一個角，這個角在-π2，π2上，且正弦值是12，所以這個角是π6，即arcsin12=π6.

一般地，arcsinx的實質(zhì)就是由已知的正弦函數(shù)值x找-π2，π2上的角.還包括把生疏的概念熟悉化，把生疏的概念進(jìn)行對比或類比，通過知識的正向遷移來理解新學(xué)的數(shù)學(xué)概念.比如，講并集注意與交集對比，講指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)對比，講雙曲線的定義與橢圓的定義對比，講反正、余切函數(shù)與反正、余弦函數(shù)對比，等等.

2.變 異

改變概念的內(nèi)涵或與概念有關(guān)但非概念內(nèi)涵的某些因素，通過改變概念內(nèi)涵，使學(xué)生從較高的層次上正確把握概念的內(nèi)涵，形成的數(shù)學(xué)對象進(jìn)行正確判斷的能力，進(jìn)而使學(xué)生認(rèn)識與數(shù)學(xué)概念有關(guān)的多種因素中，哪些因素是本質(zhì)的，哪些因素是非本質(zhì)的，從而形成對數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確而全面的理解和認(rèn)識.仍以反正弦的概念為例，引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題：(1)反正弦函數(shù)是否為正弦函數(shù)的反函數(shù)？(2)反正弦函數(shù)的反函數(shù)是什么？這樣就使學(xué)生能夠充分認(rèn)識數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的嚴(yán)密性和科學(xué)性，培養(yǎng)了學(xué)生思維的準(zhǔn)確性和縝密性.

3.反 面

一個數(shù)學(xué)概念的外延往往是某些數(shù)學(xué)對象的全體的一部分，如果把這些對象的全體看成一個全集I，數(shù)學(xué)概念的外延看作它的一個子集A，則所謂“反面”就是考查A的補集，使學(xué)生從另一個角度形成對數(shù)學(xué)概念的更深入、更全面的認(rèn)識.在揭示了反正弦函數(shù)以后，請學(xué)生判斷下列函數(shù)是否為反正弦函數(shù)：

(1)y=arcsinx-π2；

(2)y=2arcsinx；

(3)y=sinxx∈π2，3π2的反函數(shù).

上述逐層分析，揭示數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的同時，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，優(yōu)化了思維的品質(zhì)，也將收到突出的教學(xué)效果.

三、運用新概念，由淺入深，循序漸進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

新概念運用的設(shè)計應(yīng)由易到難，形成梯度，拾級而上，促進(jìn)學(xué)生思維的合理過渡.

在學(xué)生深刻理解了反正弦函數(shù)的概念之后，應(yīng)立即引導(dǎo)學(xué)生運用新概念解決具體問題，請學(xué)生完成如下練習(xí)題：

(1)計算sin（arcsinx）；

(2)先判斷cosarcsin-12的符號，然后求值；

(3)計算cos（arcsinx）；

(4)求y=arcsinx-π2的反函數(shù)；

(5)是否需要引入一個新符號表示函數(shù)y=sinxx∈π2，3π2的反函數(shù)？如何用記號y=arcsinx來表示函數(shù)y=sinxx∈π2，3π2的反函數(shù)呢？

通過數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用，形成了對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的更深入的認(rèn)識，如此，常能達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的目的.

注重數(shù)學(xué)概念教學(xué)的層次設(shè)計，在課堂教學(xué)中，逐層推進(jìn)，使學(xué)生的思維不斷深入，在每一個層次中，都通過啟迪和引導(dǎo)，使學(xué)生參與到分析知識的形成過程中來，從而使學(xué)生的思維能力得到有效的培養(yǎng)和開發(fā)，優(yōu)化了思維品質(zhì)，必將對提高學(xué)生素質(zhì)起到突出的作用.

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