談拉格朗日定理的幾何意義在解題中的應用

【摘要】本文從拉格朗日定理的幾何角度進一步挖掘了該定理的價值，即用弦線法來解決一些實際問題.

【關鍵詞】拉格朗日定理；幾何意義；弦線法

1引 言

拉格朗日中值定理在數學分析中有著十分重要的地位.而對于拉格朗日中值定理的研究，從分析方面看已經是很完備的了，所以本文就從拉格朗日定理的幾何角度來進一步挖掘此定理的價值，即將數學分析與空間解析幾何兩大學科的思維方法有機結合在一起來解決研究中的實際問題.這樣不僅拓展了解決問題的思維方法，更進一步地完善了拉格朗日定理的理論體系.

2拉格朗日定理及其幾何意義

拉格朗日定理是羅爾定理的推廣形式，用分析的語言可敘述為下列形式.

拉格朗日（Lagrange）定理：若函數f(x)滿足下列條件：

(1)在閉區間［a，b］連續，(2)在開區間(a，b)可導.

則在(a，b)內至少存在一點c，使f′(c)=f(b)-f(a)b-a.

當f(a)=f(b)成立時，拉格朗日定理即變成了羅爾定理.

下面我們來看一下這個定理的幾何意義.

拉格朗日定理的幾何意義:若閉區間［a，b］上有一條連續曲線y=f(x)，曲線上每一點都存在切線，則曲線上至少有一點M(c，f(c))，過M點的切線平行于割線AB（如圖1）.

下面我們從拉格朗日定理的幾何意義入手來看這個定理.定理中的函數f(x)的圖像是一條光滑曲線，它比羅爾曲線少了一個條件，拉格朗日定理的結論是說在曲線上某一點處的切線斜率與起點A和終點B連接的線段平行（如圖1）.我們把曲線AB變成羅爾曲線A1B1，同時把直線AB變到橫軸上，那么羅爾曲線A1B1上有一點處M1的切線與橫軸平行，只要這種變換保持曲線的光滑性就可以得出拉格朗日定理的結論.

事實上，直線AB的方程為y=f(a)+f(b)-f(a)b-a(x-a).

把AB和AB直線相減得出一條新的曲線A1B1，它的方程為y=f(x)-f(a)=f(b)-f(a)b-a(x-a).

記為F（x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-a(x-a).

則這條曲線A1B1的方程為y=F(x)，易知它是羅爾曲線.由羅爾曲線的結論得知在（a，b）內必存在一點c，使

F′(c)=f′(c)-f(b)-f(a)b-a=0.

從而證明了拉格朗日定理，而且說明了引進的輔助函數F(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-a(x-a).

3幾何意義的應用——弦線法

由拉格朗日定理知，若函數f(x)在閉區間［a，b］連續，在開區間(a，b)內可導，

則x1，x2∈［a，b］，ξ在x1，x2之間，使得

f′(ξ)=f(x2)-f(x1)x2-x1.

即是說：曲線上任意兩點的弦，必與二點間某點的切線平行.我們正是可以利用這種幾何意義進行思考解題.

例 設f(x)是可微函數，導函數f′(x)嚴格單調遞增.若f(a)=f(b)(a

圖 2證明 任意取一點x∈(a，b)，要證f(x)

如圖2，作弦線AC，BC.

應用拉格朗日定理的幾何意義，ξ∈（a，x），η∈(x，b)，使得導數f′(ξ)，f′(η)分別等于AC，BC弦的斜率.

但因f′(x)嚴格單調遞增，所以f′(ξ)

這就得到了（AC弦的斜率）<（BC弦的斜率）:

f(x)-f(a)x-a

這便得到關于函數值的不等式.

注意到f(a)=f(b)，移項既得f(x)

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