淺談數學建模在教學中的應用

【摘要】中學數學建模教學，應緊扣教材，合理選材，引導學生從實際問題中抽象出數學問題，建立相應的數學模型，化為常規問題，選擇合適方法求解，從而解決問題.

【關鍵詞】建模思想;建模教學;緊扣教材;基本模式;建模方法;解決問題

近年來，舊的教育方法導致出現了許多“高分低能”的現象.而“學以致用”是教育最重要的原則之一.學習數學的目的就是為改造世界、改造生活服務.因此，現在的教學應更加重視學生應用能力的培養.中學數學建模解決實際問題的過程正是“問題解決”的過程.因此，開展中學數學建模教學理論與實踐的研究，不僅有助于學生掌握扎實的數學基礎知識，而且有助于培養學生靈活的思維能力，分析問題、解決問題的能力；也是提高學生應用數學的意識和數學素質的重要途徑.

1.什么是中學數學建模

數學建模，專家給它下的定義是：“通過對實際問題的抽象、簡化，確定變量與參數，并應用某些規律建立起變量、參數間的確定的數學問題，求解該數學問題，解釋、驗證所得的解，從而確定能否用于解決問題的多次循環，不斷深化的過程.”

2.教學現狀

應用數學問題在當前中學教學中還得不到應有的重視.多數教師習慣用傳統的教學方法，授業、解惑.至于如何從數學的角度出發，分析和處理學生周圍的生活及生產實際問題更是無意顧及.同時，學生的應用意識也比較淡薄，很多走向社會的學生認為他在中學所學的數學，在他以后的工作生活中“沒有用處”.

3.如何開展數學建模教學

（1）消除心理障礙，增強學生學好數學的自信心

許多學生一見應用題文字長，連題目都沒有看完，就望而生畏，置之不理.所以，我們要求學生要樹立信心，不能隨意放棄.在平時教學中，有目的、有計劃地加一些應用題進行分析，每次考試也盡可能地考查一道與復習內容相關的應用題，幫助學生消除心理障礙.

（2）緊扣教材，合理選材，適時切入

中學數學建模教學應結合正常的教學內容切入，把培養應用數學的意識落實在平時的教學過程中，以教材為載體，以改革教學方法為突破口，通過對教學內容的科學加工、處理和再創造達到在學中用，在用中學.

（3）訓練閱讀能力，熟練基本模式

解答應用問題就是在閱讀材料、理解題意的基礎上，把實際問題轉化為數學問題，建立相應的數學模型，再利用數學知識對數學模型進行分析、研究，得到數學答案，然后再把數學答案返回到實際問題中去獲取具有實際意義的結論，基本程序如下：

4.以下通過范例，對中學數學常見的建模方法進行探討

（1）建立方程（組）模型

在現實生活中廣泛存在等量關系，如：行程問題、工程問題、航行問題、勞力調配問題、數字問題、形積變化問題、銷售問題、配套問題、經濟問題等等，都可以建立方程（組）模型來解決.

例1 某服裝商店出售優惠購物卡，花200元買了這種卡后，憑卡可在這家商店按八折購物.問：累計購物多少元時買卡與不買卡一樣？什么情況下買卡購物合算？

解 設累計購物x元時，買卡與不買卡一樣.

依題意，得0.8x+200=x，

解得x=1000.

答：當累計購物1000元時，買卡與不買卡一樣.

當累計購物超過1000元時，買卡購物合算.

（2）建立不等式（組）模型

在市場經營，生產決策和社會生活中，常把實際問題中隱含的數量關系轉化為不等式（組）求解.

例2 某工廠現有甲種原料360 kg，乙種原料290 kg，計劃利用這兩種原料生產A，B兩種產品共50件.已知生產1件A種產品需甲種原料9 kg、乙種原料3 kg，生產1件B種產品需甲種原料4 kg、乙種原料10 kg.請你提出安排生產的方案.

解 設安排生產A種產品x件，則B種產品(50-x)件.

依題意，得=9x+4(50-x)≤360，

3x+10(50-x)≤290，

解得30≤x≤32.

∵x是整數，

∴取x=30，31，32.

∴對應的50-x=20，19，18.

答：有3種方案，①生產A種產品30件，B種產品20件.②生產A種產品31件，B種產品19件.③生產A種產品32件，B種產品18件.

（3）建立函數模型

在現實生活中，普遍存在最優化問題，如造價、用料最少、利潤最大等，都可以建立函數模型，轉化為求函數最值問題.

例3 A城有化肥200噸，B城有化肥300噸，現要把這些化肥全部運往C，D兩鄉.從A城往C，D兩鄉調動化肥的費用分別為每噸30元和40元，從B城往C，D兩鄉調動化肥的費用分別為每噸45元和60元.已知C鄉需化肥240噸，D鄉需化肥260噸.問：如何調動可使總運費最省？

解 設從A城調x噸到C鄉，總運費為y元.

依題意，得

y=30x+40(200-x)+45(240-x)+60(60+x)

=5x+22400.

∵x≥0，

200-x≥0，

240-x≥0，

60+x≥0，

∴0≤x≤200.

∵k=5>0，∴y隨著x的增大而增大.

∴當x=0時，y最小=22400.

∴200-x=200，240-x=240，60+x=60.

答：最省運費的調動方案：把A城的200噸化肥全部調往D鄉；把B城的化肥調60噸到D鄉，調240噸到C鄉.

（4）建立幾何模型

諸如航海、三角測量、邊角余料加工、工程定位、拱橋設計等應用問題，涉及一定圖形性質，常需要建立相應的幾何模型，轉化為幾何或三角問題求解.

例4 入夏以來，某江的水位不斷下降，達到歷史最低水位，一條船在該江某水段自西向東沿直線航行，在A處測得航標C在北偏東60°方向上，前進100米到達B處，又測得航標C在北偏東45°方向上，如圖所示，在以航標C為圓心，120米長為半徑的圓形區域內有淺灘，如果這條船繼續前進，是否有被淺灘阻礙的危險？

解 過點C作CD⊥AB于D，則∠1=30°，∠2=45°，AB=100.

設CD=x米，則BD=CD=x.

在Rt△ACD中，AD=100+x.

∵tan∠1=CDAD，

∴tan30°=x100+x，

∴33=x100+x，

解得x=503+50≈136.6.

∵136.6>120，

∴這條船繼續前進沒有被淺灘阻礙的危險.

（5）建立直角坐標系模型.

當變量的變化具有（近似）函數關系，或物體運動軌跡是有某種規律，可通過建立平面直角坐標系，轉化為函數圖像問題求解.

例5 如圖是一座拋物線的拱橋，橋下水面寬度AB是20米，拱高CD是4米，若水面上升3米至EF，則水面寬度EF是多少？

解 如圖，建立平面直角坐標系.

設拋物線解析式為y=ax2+4.

把B（10，0）代入，得100a+4=0.

∴a=-125，∴y=125x2+4.

當y=3時，-125x2+4=3.

解得x=±5.∴EF=10.

答：水面寬度EF是10米.

總之，數學建模有利于培養學生利用數學觀點解決生活、學習、生產中的問題.教師在平時教學中，應結合教材內容，適時切入，逐步滲透數學建模的思想和技能，并以數學建模為載體，使學生提高適應未來社會生活和進一步發展所必需的各項能力.

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