面向中學的高師《數學史》課程案例研究

【摘要】在中學數學課程改革的大背景下，高師《數學史》課程被賦予了新的教育意義，如何充分體現課程的師范特色？文章從案例研究的角度，以“概率論起源問題”為例，從研究的問題、案例選材、實踐探索、反思等幾個方面展開研究.

【關鍵詞】高師；《數學史》；案例研究；概率論起源

引 言

2003年頒布的《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱《標準》）中指出：高中數學課程提倡體現數學的文化價值，并在適當的內容中提出對“數學文化”的學習要求，設立“數學史選講”等專題.“數學史”是“數學文化”的良好載體，通過數學史的學習，能夠“反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學科學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神”.

可見，在當前中學課程改革的大背景下，高師《數學史》也應該與時俱進，充分體現其教育價值，筆者自2005年開始擔任《數學史》課程的教學工作，鉆研《標準》精神，對課程進行思考和探索，本文以“概率論起源問題”為例，從研究的問題、內容組織、實踐探索等幾個方面展開思考與研究：

1.研究的問題

概率論是研究隨機現象數量規律的數學分支.在最近幾十年中，概率論的方法被引入各個工程技術學科和社會學科.有越來越多的概率論方法被引入經濟、金融和管理科學，概率論成為它們的有力工具.“概率論”已經成為我國高校數學系學生的必修課程之一.同時，“概率論”的重要性不僅在高師院校得以充分體現，在中學也同樣占據了重要的地位.

然而，筆者曾經隨機抽取20位高師生（已經學習過《概率統計》課程）調查，其中有18位表示對概率論起源問題不甚了解.以我院《概率論》課程使用教材為例：選用1983年高等教育出版社出版的《概率論與數理統計教程》（魏宗舒），沒有從歷史的角度陳述概率論起源問題.為了避免高師生學習過程中出現“燒中段”的現象，也為了更好地指導其今后的中學數學相關部分教學工作，了解概率論的起源問題顯得必要.

綜合上述，制定教學目標如下：

①了解概率論起源問題；

②嘗試使用“學習單”的形式，以學習小組為單位，對“分賭注問題”問題進行分析討論，從數學史角度上將三位數學家對該問題的討論和研究通過學習單的形式無聲地滲入學生的學習過程中.

2.內容選取

2.1 設計思路

歷史的講述不一定原原本本地要用歷史的講述方式，適當方式的轉變往往會帶來意想不到的效果，“學習單”的教學形式便是筆者在查閱了HPM基于數學史的教學設計案例，適當改編之后投入實驗，一方面希望能夠探索高師課程新的授課方式，另一方面也希望能夠激發高師生的學習熱情，為今后的教學工作提供參考.

說明：

①解決方案以問題單的形式呈現，一方面能夠為學生思考解決方案提供線索；另一方面能夠有機地與數學史知識融合，為后面的講解埋下伏筆；

②在學習小組準備討論之前，各小組組長上臺抽取解決方案，并對該方案進行評價；

③在學習小組課堂討論之中，發放“課堂討論記錄表”，真實記錄本組學習討論過程，便于后期數據統計.

2.2 案例選材

①《標準》中必修課程數學3“概率”內容與要求

②概率論起源問題——分賭注問題

若有甲乙兩人（賭技相當）各出賭金96枚金幣，規定必須要贏3場才能贏得全部賭金192枚金幣，但比賽中途因故中止，此時甲、乙勝局數為2∶1.問：此時應如何分配賭金？

③通過學習單的形式向學生展示該問題三種不同的解決方案，引發學生對于該問題進一步思考.

④從數學史的角度解釋提出三種不同解決方案的數學家的解題思路.

概率論起源于博弈問題.15~16世紀意大利數學家帕喬利、塔塔利亞和卡爾丹的著作中曾討論過“如果兩人賭博提前結束，該如何分配賭金”等概率問題.1654年左右，費馬與帕斯卡在一系列通信中討論類似的合理分配賭金問題，并用組合方法給出正確解答.他們的通信引起了荷蘭數學家惠更斯的興趣，后者在1657年發表的《論賭博中的計算》是最早的概率論著作.

3.實踐探索

3.1 實施過程

【課前準備】

將全班學生分為若干個學習小組，每個小組確定組長、記錄員各一名.組長負責抽取探究題目、組織討論、組織推選代表發言；記錄員負責填寫相應表格.

【Ⅰ《標準》中“概率”部分的要求】

首先，通過圖片展示“概率”在日常生活中方方面面的應用，引起學生對于“概率論”這一數學分支的關注和好奇.

接著，將《標準》中關于概率部分的要求通過課件展示，讓學生對于中學的教學要求有所了解.

然后，通過全國普通高考數學文理試卷中概率題目的呈現，旨在使學生進一步了解“概率論”在高中階段的重要性.為下一部分“分賭注問題”的呈現埋下伏筆.

【Ⅱ分賭注問題】

首先，簡要介紹了分賭注問題的提出背景，以及在“概率論”分支中的發展歷程.

接著，向學生們順次展示了四張學習單，組織學生分組討論，說明理由.

問題的提出（分賭注問題）:

學習單1

A認為，其賭金分配應就其勝局比數，即2∶1，依照比例分配.因此，甲應分得192×23金幣，乙應分得192×13金幣.

問題1：請問你認為A的分法可不可行？說明理由.

學習單2

B認為，甲贏兩局，乙贏一局.在擲下一次骰子時，若甲贏，他將得到全部192枚金幣；若乙贏，他們所贏局數比為2∶2，在這種情況下分賭金，每人將拿回自己的96枚金幣.綜上所述，若甲贏將得所有192枚金幣；若甲輸則會拿到96枚金幣，乙會拿到96枚金幣，因此甲至少可拿到96枚金幣，乙至少拿到0金幣.假如他們不繼續賭下去的話，可將96枚金幣先給甲，至于剩余的96枚金幣，可能甲得，可能乙得，機會是均等的，所以兩人均分剩下的96枚金幣，各得48枚，因此甲乙兩人所得金幣分別為144枚和48枚.

問題2：請問你認為B的分法可不可行？說明理由.

學習單3

C認為，根據至多需要幾場比賽才能看出贏家，如果甲需要再比m場才贏；乙需要再比n場才贏，則需再經過m+n-1場才能宣布贏家.以勝局比為2∶1為例，接下來的兩場比賽可能結果如下（a代表甲勝，b代表乙勝）：aa（甲勝）、ab（甲勝）、ba（甲勝）、bb（乙勝）.所以兩人應得賭金之比為3∶1，即甲可得192×34枚金幣，乙可得192×34枚金幣.

問題3：請問你認為C的分法可不可行？說明理由.

學習單4

問題4：利用你所學過的概率知識，此賭金分配問題應如何解？為什么？

按照課前分組進行討論，由組長抽簽、組織討論、準備發言提綱.

【Ⅲ關于分賭注問題的討論】

每小組發言代表分別匯報本小組討論的結果，并交回發言提綱.

【Ⅳ總結】

根據每小組發言的結果，依照“分賭注問題”的歷史發展線索整體講解.

3.2 案例特色

(1)內容選取方面

拉普拉斯說過：“生活中最重要的問題，其中絕大多數在實質上只是概率的問題.”本案例選擇概率論起源問題——分賭注問題進行探究，這是概率論發展史上最著名的問題之一.它早在15世紀時由意大利數學家帕西沃里的關于計算技術的教科書《總計》中提出，但他未能給出正確結果，這曾引起了長時期的爭論.

案例嘗試用另一種形式講述數學歷史知識，一開始不是常規地按照歷史發展順序介紹三個階段代表數學家的成果，而是將三種解題方案改為“問題單”形式，將數學家名字隱去，以A，B，C代替，讓學生感受到自己的解題思路和大數學家相似時的欣喜；借鑒國外HPM的相關研究成果，將數學歷史知識無聲地融入到課堂教學過程中去.

(2)教學方法方面

數學史的教學是否一定要按照“歷史”的方法陳述？中學數學課堂中融入數學史知識是否也一定要按照“歷史”的陳述？本案例嘗試將歷史無聲地融入到教學中去，受到HPM研究實例的啟發，設計并修改了“學習單”.學習單上沒有出現任何數學家的名字，沒有了數學家的“權威”，使得學習小組在討論學習時可以充分的“放開手腳”，大膽地說出自己的想法以及改進的方案.

盡管這份學習單上并沒有出現任何數學家的名字，但所列的3種方法分別是15世紀意大利數學家帕西沃里、帕斯卡和費馬的解法.當學習小組知道自己的解法和某位數學家一致或相似時，都感到非常驚喜.有一位學習小組組長說道：“當我知道我自己原先的想法竟然和大數學家帕斯卡一致時，我興奮極了.原來一直是學習數學家的成果，數學家在我們看來是那么高高在上，居然我可以和他有想法相同的時候.歷史原來可以這樣學！”

3.3 實施效果

(1)存在的問題與不足

實施中發現的問題如下：

①由于學習小組人數相對較多（14人左右），所以在小組討論的過程中，有少數組員出現“邊緣化”現象，不積極參與討論.

②課堂學習小組討論激烈，但是從課后學習小組上交的“課堂討論記錄表”來看，討論問題的深度略顯不足.8組中僅有2個學習小組意識到可以用自己學過的知識“數學期望”來解決這個問題，其余各組主要是針對所抽到的問題進行回答.

③由于時間關系，小結部分略顯簡單，只交代了各種意見各自的來源者——三位數學家解決該問題的簡單過程.

(2)成效

①將“探究式”適度地融入到“講授式”當中，讓學生學習思維從單純的聽課習慣中“跳”出來，增強自己學習的自主意識.

②將全班分成8個小組，每組設立組長、記錄員、發言代表，各司其職.學習小組的學習方式，能夠有效地促進小組成員的主動性和積極性；在課堂小組討論過程中，據觀察，全班除了3—4名同學沒有積極參與到討論中，其余均能積極發表自己的見解和看法，并在組內進行討論.

“課堂討論記錄表”填寫規范，學習小組中有3個小組能夠在三種解決方案基礎之上，提煉出“數學期望”的解題方法，而這種思路正是后期數學家惠更斯所提出的.

③將“分賭注問題”以學習單的形式給同學們呈現，讓同學們先自己思考和討論，最終給予總結，可以縮短學生對于數學家的陌生感，當得知自己的一些想法和數學家們有異曲同工之處時，容易激發學生的學習信心和興趣.

4.反思與建議

針對教學過程中發現的問題，提出建議：

①根據授課班級人數機動地分配學習小組，盡量使得每個學習小組人數不超過10人（6人左右最佳）.正式上課之前，進一步明確學習小組的功能，將實踐活動與平時成績掛鉤，進一步發揮學習積極性.

②在課堂上盡量多啟發學生深入思考，或者采取課前將問題布置到學習小組進行思考和討論的方法.

③需要筆者更好地控制課堂討論和發言的時間，保證時間充裕；同時，也需要進一步再鉆研相關部分的歷史資料，對問題的理解更加深入和透徹.

【參考文獻】

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文