關于數列極限概念引入的一點探討

【摘要】《高等數學》課是理工院校必修的一門重要的基礎課，也是許多學生學習的難點.極限的概念是《高等數學》中最基本的概念，也是整個微積分賴以建立的基礎，一直以來是學生學習的重難點，如何引入極限的概念，使學生充分理解掌握其思想，歷來是教學中的難點.文章從“引用典故，孕育學生極限思想”“逐步引導，層層深入，得到數列極限的嚴密定義”“深入剖析極限的定義，加深學生對此定義的理解”三方面闡述了極限引入的一點心得體會.

【關鍵詞】數列；極限；無限

極限的概念是《高等數學》中最基本的概念，也是整個微積分賴以建立的基礎，一直以來是學生學習的重點，也是學習的難點.如何合理地引入極限的概念，使學生真正理解和掌握這一概念，對學生學習后續內容起著舉足輕重的作用.由于學生長期學習的初等數學是“常量數學”，他們很難理解這種體現變化和運動的“變量數學”，而極限概念又恰恰是最好、最直接地體現了從“不變”到“變”，從“有限”到“無限”的辯證唯物主義思想，因此在極限教學中，我們應從學生的實際出發，層層引導，逐步概括出數列極限的定義，以收到良好的教學效果.

一、引用典故，拋出“繡球”，孕育學生極限思想

引例1 劉徽的“割圓術”

我國古代著名數學家劉徽為了計算圓的面積，采用了逼近原理，簡稱“割圓術”.具體操作：首先作圓的內接正六邊形，接著作圓的內接正十二形、內接正二十四邊形，內接正四十八邊形……即作圓的內接正n邊形，其中n為正整數.其對應面積記為An，這就得到一個數列A1，A2，…，An，…n越大，圓的內接正n邊形與圓的差別就越小，從而以An作為圓面積的近似值也就越精確.但是只是近似值，如何才能得到精確值呢？學生經過思考會回答“n很大很大”，那多大呢？“無限大”.

引例2 “阿基里斯永遠追不上一只烏龜.”

阿基里斯和烏龜賽跑，烏龜在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上烏龜.因為在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發點，當阿基里斯追到100米時，烏龜已經又向前爬了10米，于是，一個新的起點產生了；阿基里斯必須繼續追，而當他追到烏龜爬的這10米時，烏龜又已經向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那個1米.就這樣，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間制造出一個距離，不管這個距離有多小，只要烏龜不停地奮力向前爬，阿基里斯就永遠也追不上烏龜！是不是這樣呢？事實上我們知道：能追上.可該如何解釋呢？

以上兩例告訴我們，在任何有限的過程中，我們僅能解決一些近似計算問題.只有在無限的過程中才能對問題徹底解決，而解決問題的重要數學工具就是“極限”.

二、逐步引導，層層深入，得到數列極限的嚴密定義

1通過直觀圖示，初步解釋極限概念

所舉數列一定要典型、直觀，學生能夠較容易地分析出它一般項的變化趨勢，為了與直觀定義相對應，一開始不宜給出極限不存在或極限為無窮大的例子，下列數列都是可供選擇的引例:x=1n，x=1+(-1)n-1n等.對于上述例子，學生都能很容易觀察出其變化趨勢，這時就可給出數列極限的下列直觀定義:當n無限增大時，數列的一般項xn無限地接近于某一個確定的常數A，則A稱為數列{xn}的極限.

2循循善誘，啟發學生總結出數列極限的定義

在剛剛的極限敘述中，我們用了“無限增大”“無限接近”等詞，但如何才能算作“無限”呢?我們能否給極限以嚴密的定義呢?提出問題引導學生先去思考，暫且不管“無限”兩字，引導學生思考：“數軸上兩點距離”在數學上如何來描述?同學們一般都會想到可以用“這兩點間的距離”來描述，而兩點間的距離是可以用一個絕對值來表示的.因此我們指出所謂“xn無限地接近于某一個確定的常數A”就是|xn-A|可以無窮小，那么又如何表示？這時再引導學生進一步分析：（1）首先|xn-A|是一個非負數，其次|xn-A|可以小于任意一個正數ε，那么是否就可以描述我們所需描述的思想了呢?學生經過思考后回答是肯定的，因為他們知道一個非負數小于任意一個正數，只有當這個非負數可以無限小才有可能.（2）“當n無限增大時，數列的一般項xn無限地接近于某一個確定的常數A”是不是可以這樣敘述：對于上述ε，存在一個自然數N，當n無限增大時，也即當n>N時，總有|xn-A|<ε成立.至此綜合上述分析推理，可以幫助學生總結出下列數列極限的分析定義:對于任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得對n>N的一切xn，不等式|xn-A|<ε總成立，則稱A為數列{xn}的極限，記作limn→+∞xn=A.

三、深入剖析極限的定義，加深學生對此定義的理解

1小正數ε是事先給定的，具有任意性，定義中的N是依賴于ε的.

2常數A是客觀存在的，并且是唯一的.

3不等式|xn-A|<ε不是對數列{xn}中的一切項都成立，只要求對N以后的那些項都成立，即無論ε>0如何小，不滿足|xn-A|<ε的項只有有限項.

4只有無窮數列才能討論它的極限問題.

總之，對于數列極限概念的教學，速度要慢，所花時間稍多，但學生將這一概念搞清了，就為下一步學習函數極限的各種定義打下了良好的基礎.從有限到無限是一個質的飛躍，對剛剛接觸《高等數學》的學生來說是一道門檻，教師在教學中應充分理解學生的困難，站在更高的理論角度幫助學生理解，培養學生對數學學習的興趣.讓學生了解身邊的數學，激發學習興趣，減輕學生與數學的距離感；增強學生對未知世界的好奇心，培養勇于探索的創新意識.

【參考文獻】

［1］李心燦.高等數學應用205例［M］.北京:高等教育出版社，1997.

［2］李薇，戴明強.高等數學教學中應加強應用［J］.高等數學研究，2005（2）：30-32.

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