喚醒職業學校數學課堂,提高數學教學的有效性

【摘要】職業類學校的學生的學習基礎較普通高中的學生相去甚遠，且對于學習沒有興趣，也無信心能學好數學.職業中學的數學課正處于學生不想學，教師就隨便教的惡性循環中.本文以《復數的概念》這一節新課為例，探討如何能使職業學校的數學課堂再有生機，提高職業學校數學課的有效性.

【關鍵詞】復數的概念；課堂教學；教學有效性

職業類學校的學生的學習基礎較普通高中的學生相去甚遠，這是眾所周知的.尤其是數學，許多學生正是由于數學成績差，影響到中考的總分，被迫到職業學校學習.因此，在職業學校如何上好數學課，如何提高學生學習數學的興趣，如何使學生在學習數學中有所得，這些問題一直都困擾著職業學校的數學教師.

目前，職業中學的數學課正處于學生不想學，教師就隨便教的惡性循環中.數學學習的課堂就是老師一個人的課堂，學生沒有積極參與思考，學生對學習數學采取的是一種抵制的態度.在期中、期末考試中，雖然試卷很簡單，但學生的低分率很高，甚至出現了零分.

本文以《復數的概念》這一節新課為例，探討如何能使職業學校的數學課堂再有生機，提高職業學校數學課的有效性.該節課是學校優質課評比中的一節內容，使用的教材為五年制高職《數學》第一冊第六章第二節復數的概念.

1.復習回顧數的發展史（用時約為8分鐘）

（課前讓同學搜集整理資料并制作PPT）

第一組學生主要是從人類社會發展的生產生活需要來闡述數的發展史.

在人類社會初期，人們以結繩計數，繩結的個數、位置的不同表示不同的數，由此產生了自然數N.

古代生活中為了區別“收入和支出”“增加和減少”，出現了負數.自然數和負整數統稱為整數.

中國是最早提出負數概念的國家，雖然無法斷言負數概念在我國究竟是何時出現的，但至少在《九章算術》中已經正式提出了負數以及正負數運算.公元三世紀，我國古代最著名的數學家劉徽在注解《九章算術》時，正式給出了正負數的定義.

分數起源于分配問題和測量得不到整數的結果，分數和整數統稱為有理數Q.

我國的《九章算術》是世界上最早系統講述分數的著作，比歐洲早1400余年.在《九章算術》的“方田章”中，系統講述了約分、通分、分數的四則運算、比較分數大小、求分數的平均數以及化帶分數為假分數等方法.

由不可公度問題產生了無理數，有理數和無理數統稱為實數.

古希臘的畢達哥拉斯學派的信條是：“萬物皆數.”由于他們當時所認識的數只有整數和分數，因此他們虔誠地篤信：宇宙間的萬事萬物都能歸結為整數或整數之比.但是，后來他們發現，有些線段之比，例如正方形的對角線與其邊之比不能用整數之比來表示.不可公度線段的發現徹底動搖了畢達哥拉斯學派賴以生存的哲學信條，并引起恐慌.據說畢達哥拉斯學派的一名成員希帕蘇斯由于透露不可公度量而遭到殺身之禍.無理數產生引起了數學的第一次危機.

由此可見，數的發展離不開人們的生活，數學與生活密切聯系.數的發展也是一個漫長而曲折的過程.

另一組學生從方程的角度說數的發展.

學生：（從方程的角度來闡述）

方程x-2=1在自然數集N中有解，為x=3.

方程x+6=0在自然數集中無解，因此引入負數，將數集擴充成整數集Z，該方程有解為x=-6.

方程5x=1在整數集中無解，因此引入分數，將數集擴充成有理數集Q，該方程有解為x=15.

方程x2=50在有理數集中無解，因此引入無理數，將數集擴充成實數集R，該方程有解為x=52.

由此可見，數集的發展與方程的解密切相關，數集的擴充使得原本無解的方程在新擴充后的數集中都能找到相應的解.

2.給出問題引入新課

（簡述“虛數的由來”，時間約8分鐘）

N負數Z分數Q無理數R？

數的發展在實數集就停下腳步了嗎？方程x2=-1沒有實數解，是否有新的數集產生使得方程有解呢？

我們知道負實數不可以開方.第一個勇敢地對負數施行開方運算的數學家是卡爾丹.他于1545年在求解“把10分成兩部分，使其乘積為40”的問題時，即求解方程x2-10x+40=0的根時，斷然將10分為5+-15和5--15，并說“不管會受到多大的良心責備”，這兩個式子畢竟是滿足問題要求的.這里，卡爾丹不但首次提出了負數的平方根概念，而且最早給出了它的一種表示方法和一些運算方法.然而，他只能形式地這樣做，并沒有認識到這是一種新的數，而且囿于傳統觀念，卡爾丹稱負數的平方根為“詭辯量”，并懷疑其運算的合法性.歐拉于1777年首次用i表示-1，其中i為infinitus（無窮大）第一個字母（因為歐拉早期用i表示無窮大量），這種用法后來為高斯進一步采用.從卡爾丹到歐拉虛數經歷了兩百多年.引入虛數單位i后負數可以開方，-15=15×-1=15i，并由此產生了一類新的數，稱為虛數.實數與虛數統稱為復數，復數集用C表示.

復數概念的最終形成標志著人們關于數概念的認識已進入一個相對比較完善的階段.

N負數Z分數Q無理數R虛數復數C

3.新課講解嘗試指導（用時約8分鐘）

教師：虛數單位i的性質

性質1：i2=-1.

性質2：i與實數在一起，可以按照實數的四則運算法則進行運算，原有的加法、乘法運算律仍成立.

教師請同學們列舉一些實數.如-2，35，π，-3，0，04，根據虛數單位i的性質2“i與實數在一起，可以按照實數的四則運算法則進行運算”，可以得-2i，-2+i，35i，π-i，πi，-3i，0i，04i，04+2i等數（0乘以任何數仍然為0，因此0×i=0，0屬于實數）.這些數中都含有虛數單位i.我們把這些含有虛數單位i的數稱為虛數，將虛數進一步分類，并說明分類的依據.

-2i，35i，πi，-3i，04i為一類，都是實數與虛數單位i的乘積；-2+i，π-i，04+2i為另一類，是實數與虛數單位進行加減運算所得.

設實數b，由性質2，將i與實數b相乘得到bi.特別的，當b=0時，即0#8226;i=0∈R；當b≠0時，稱數bi為純虛數.將純虛數bi與實數a(a≠0)相加得a+bi(a≠0，b≠0)，a+bi稱為非純虛數.純虛數和非純虛數統稱為虛數.

（小結）

虛數的定義：形如a+bi(b≠0)的數稱為虛數，虛數可以分為純虛數和非純虛數.

虛數a+bi(b≠0)非純虛數：a+bi(a≠0，b≠0)純虛數：bi(a=0，b≠0)

實數也可以用a+bi的形式表示，條件為b=0.所以形如a+bi的數可以表示實數，也可以表示虛數.

復數的定義：形如a+bi(a，b∈R)的數稱為復數，a叫做復數的實部，b叫做復數的虛部.復數可以分為實數和虛數.

復數a+bi(a，b∈R).

實數：a+bi(b=0)虛數：a+bi(b≠0)非純虛數：a+bi(a≠0，b≠0)純虛數：bi(a=0，b≠0)

3.例題講解鞏固概念（用時約為18分鐘）

例1 請說出下列復數的實部和虛部，并指出哪些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數，哪些是復數.

2+3i，-3+12i，-13i，（-3-5）i，-2i+3.14，0，9，i2，1i.

（學生口答，答案略）

例2 已知復數a+bi(a，b∈R)，請將下列數（數集）與其所對應的條件用直線連接起來.

變式練習：

實數m取何值時，復數z=m2+3m+2+(m2-m-2)i是：(1)純虛數；(2)零？

思考 若是將題目改為：“m取何值時，復數z=m+1+(m-1)i是：(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數？”其解答過程是否與例3一致？

4.課堂小結(用時約為3分鐘)

目前，我們學習的最大數集就是復數集，復數都可以用a+bi(a，b∈R)的形式表示.重點掌握復數的分類并正確說出它們的條件.一開始數學家們對復數的認識也是持懷疑態度，但隨著科學技術的發展，虛數的應用也隨之廣泛，學生可以再收集一些虛數應用的實例，“虛數不虛”已被事實證明.

5.課后作業（略）

【參考文獻】

［1］顧浩.五年制高等職業教育教材數學（第一冊）［M］.蘇州：蘇州大學出版社，1998，149-169.

［2］張楠.對數學史與數學教育的思考［J］.數學教育學報，2006年8月第15卷第3期：72-75.

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