高等數學中思想方法在統計學中的應用

【摘要】本文討論了高等數學中的極限思想和逼近思想在統計學中的應用，分別獲得核估計方法和局部多項式估計方法，從而指出在高等數學的教學中應注重和加強數學思想方法的教學，培養和提高學生的數學思維和創新能力.

【關鍵詞】高等數學；統計學；核估計；局部多項式估計

一、引 言

高等數學作為普通高等學校的公共基礎課，對培養學生的邏輯思維能力、分析問題能力、創新能力以及提高學生的綜合素質等方面都有著很大的作用.高等數學在高?；A課教學中具有舉足輕重的地位，特別對于理工科學生，數學能力好不好關乎以后專業課的學習和學業的發展.然而，當前在高等數學的教學中往往忽視了課程里滲透的數學思想的教學或者沒有將學習高等數學的思想提高到突出的地位;教學方式過于注重數學演繹證明和推理的嚴謹，忽視了“非嚴謹”推導和形象化、具體化語言、實例的應用，不能將隱含在數學知識中的數學思想方法進行提煉和分析.

高等數學的學習不僅是對基本知識的學習，更重要的是要對思想方法的理解、體會和掌握.所以高等數學的教學不僅僅是對基本概念、性質、定理等的講授，而更重要的是對這些所體現出的數學思想方法的傳授.這些思想方法才是高等數學的精髓.

現在我們國家正在提倡創新型國家建設，這其中更多的是科技創新.數學在科學技術創新中有著重要基礎地位，在自然科學、社會科學等方面有廣泛的應用，把數學與其他學科交叉，可創造出許多新的學科和新的理論.因此，在高等數學教學中注重對學生數學思想方法的培養，這對培養學生的創新能力有很大的益處.

二、高等數學中思想方法在統計學中的應用

下面討論高等數學中思想方法與統計學中問題結合，創造性地提出了估計問題的新方法，得到新的理論.從而說明一個很小的知識點所折射出的思想方法在應用上的重要性.

1.核密度估計方法

在非參數估計中，概率密度函數f(x)的估計是一個問題.下面從導數定

義，可得到f(x)的核估計.我們知道，

f(x)=F(x)′=limh→0F(x+h)-F(x)h

=limh→0F(x+h)-F(x-h)2h.（1）

其中F(x)是f(x)的分布函數.

F(x)可由經驗分布函數估計，

即F^(x)=Fn(x)=1n∑ni=1I(Xi≤x).（2）

由此f(x)的估計為f^=Fn(x+h)-Fn(x-h)2h.(3）

由式（2）可知f^(x)=12nh∑ni=1I(x-h≤Xi≤x+h).（4）

令對稱核函數k(z)=12 當|z|≤1，

0否則，

則式（4）可表示為

f^(x)=1nh∑ni=1kXi-xh.（5）

此為f(x)的核估計量.這就給出了一種估計f(x)的方法，并且這個估計有很好的性質.由此，我們看到從一個小概念所蘊含的思想出發，可得到一個有用的估計方法.

2.局部多項式估計

如果一個函數高階可微，由Taylor公式知道，這個函數可展開成一個多項式和一個高階無窮小量之和，即這個函數可用一個多項式逼近.這就是函數逼近思想，用這種思想方法可得到非參數回歸中一種估計方法——局部多項式估計.

設非參數回歸模型為

Yj=g(Xj)+μj，j=1，2，…，n.（6）

其中g(#8226;)未知且p階可微，待估計，μi是誤差.由Taylor公式，g(Xj)可用p階多項式b0+b1(Xj-x)+…+bp(Xj-x)p逼近，即用這個多項式作為對g(Xj)的近似，其中b0=g(x)，bi=g(i)(x)i!，i=1…，p，且未知.

在均方誤差最小原則下，一個局部多項式核估計量使下面目標函數最?。?/p>

min{b0，b1，…，bp}∑nj=1(Yj-b0-b1(Xj-x)-…-bp(Xj-x)p)2×kXj-xh.（7）

令b^l表示使式（7）達到最小的bl(l=1，…，p)值，那么式（7）就是一個加權最小二乘問題.令xj=(1，(Xj-x)，…，(Xj-x)p)′，則有

b^=(b^0，b^1，…，b^p)′=∑jxjx′jkXj-xh-1∑jxjYjk#8226;Xj-xh.（8）

其中b^0=g^(x).從而，獲得g(x)估計，并且這個估計有很好的性質.這種估計方法稱為局部多項式估計.

三、結 語

導數與Taylor公式在高等數學中都是一個小的知識點，但是其中所蘊含的思想方法很重要，與統計學中的問題相結合，即將極限思想與非參數密度估計問題相結合和將逼近思想與非參數回歸問題相結合，創造性地提出新的估計方法和新的理論.這些方法是非參數估計方法，在統計學中很重要，開辟了研究的一個新領域.

在高等數學中，這些思想方法看似比較簡單，但是運用到其他問題中，與其他學科相結合，卻有很大威力，能解決問題并能創造新的理論方法.這就是創新.

因此，在高等數學的教學中，不僅要講授知識點，更要注重學生數學思維的培養和數學思想方法的傳授，提高學生的數學素養和思維水平，使學生從根本上理解數學的真諦，掌握這些思想方法.這樣，學生的分析能力和創造能力才有提高.目前，在高等數學的教學中這個方面教學還不足，需要加強.

【參考文獻】

［1］徐利治.關于高等數學教育與教學改革的看法及建議［J］.數學教育學報，2000(5):4-6.

［2］李雯.淺談高等數學教學中的策略［J］.教育理論與實踐，2009(5):41-42.

［3］楊晨彥，呂瑜佩.淺析高等數學課程的教學改革［J］.數學學習與研究，2010（23）：4-5.

［4］Qi Li and Jeffrey Scott Rcine.Nonparametric Econometrics［M］.Princeton University Press，2007.

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