兩角和差公式的“隨想”

1.背景揭示

2011年的高考又近了.至自去年秋季開始，四川省進入了新一輪的課改.我們所選用的教材版本為人教A版，當我在教學中講到必修4的第三章《三角恒等變換》中的第一課時突然回憶起去年的高考題.四川省在2010年的高考中對三角函數考查的19題出現了讓人感覺到“奇”.原因是在（1）小問考查教材三角函數中對兩角和的余弦公式的推導，這是繼1992年全國高考試卷考查異面直線間距離公式推導后，再次出現在18年后的四川卷中，命題人用意明顯，取向正確，重視知識的發生發展過程符合現在的新課改精神.

2.教學愿景

在準備這堂課之前的備課中，基于新課改中要求為了讓學生學會自主探索、自我歸納總結的精神，且看到高考題對課本的回歸，我決定對老教材中對此公式的證明也讓學生在課堂上一并進行探究.

3.分組研究

由于時間的關系，要求每個學生把研究這個問題的三種方法在課堂上一一體現出來是不切實際的，我將全班學生分為3個小組，每組確定一個組長，第一組探討老教材上的方法.第二組研究新教材中第一種當α，β，α-β均為銳角的情況.第三組探討用向量方法.組長負責收集本組的探討結論（注：由于本校學生按現實分類屬于本縣的二類生源，學生的整體水平有限，所以對待三種解題思路由老師和學生共同完成，具體實施則由學生完成）.

小組結論

（1）思路：對此問題的處理時用兩點間的距離公式，先建立一直角坐標系xOy，同時在這一坐標系內作單位圓O，并作出角α，β與-β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點P1，終邊交⊙O于點P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于P3，角-β的始邊為OP1，終邊交⊙O于點P4，并引導學生用α，β，-β的三角函數標出點P1，P2，P3，P4的坐標.

第一組在根據老師和學生剛共同的思路充分利用單位圓、平面內兩點的距離公式，并由距離等式|P1P3|=|P2P4|化得的三角恒等式，并整理成為余弦的和角公式（為節省篇幅詳見舊人教版《數學》第一冊下P34）.

（2）思路：借助于單位圓中的三角函數線，推出α，β，α-β均為銳角時成立.第二組同學在此思路下也證明得到了公式（詳見新人教版必修4P125-P126).

（3）思路：對于α，β為任意角的情況，運用向量的知識進行了探究.第三組在研究中遇到了“困難”，有學生認為向量的方法推導過程中的不嚴謹之處.老師在隨后的點評中讓學生補充了用向量的方法推導過程中有不嚴謹之處.這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性（詳見新人教版必修4P125-P126).

注：在舊版中先得到的是兩角和的余弦，而在新版中是先得到兩角差的余弦.

4.隨想綜述

基于上述對相同知識不同的探討方式進行對比和交流，學生感受到第三種推導過程的方法要容易得多.同時直觀地讓學生體會到了向量這個解題工具的簡便.的確，向量作為一個解題工具在歷年的高考題中是必不可少的，因為它的作用體現在：

（1）有利于培養學生數形結合的思想方法

向量集數與形于一身，它與生俱來就是數形結合的，既是代數研究對象，又是幾何研究對象；既可以進行運算，又可以圖形表示，它是數形結合思想方法的體現.所以，學習向量知識有利于培養學生數形結合的思想方法.

（2）向量的引入有利于拓寬解題思路

向量概念能夠在數學中得到廣泛的發展不是偶然的，這與它強大的工具性是離不開的.向量方法既是數學思想方法的體現，又是問題解決的一種方法途徑，并且這種方法具有普遍性、廣泛性、有效性.向量在數學問題解決中的作用，主要體現在幾何問題和代數問題等.

正是這樣把向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一的重要性體現了出來，把它作為溝通代數、幾何與三角函數的一種工具的作用體現了出來.解題方法新穎，思路清楚，容易想到，計算也較為簡單，往往能使解題起到起死回生的效果，所以在我們今后的教學中應引起足夠的重視.當然我的學生現在才高一，對待這個工具的實踐運用今后可說是機會多多.

【參考文獻】

［1］全日制普通高級中學教科書（必修）《數學》第一冊(下）.人民教育出版社中學數學室，2003.

［2］普通高中課程標準實驗教科書《數學4》必修A版.人民教育出版社課程教材研究所，2007.

［3］朱立青.向量的作用.山東教師教育網，2010.

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