議高中數學課堂中的探究活動

【摘要】教育部制定的《普通高中數學課程標準（實驗）》中明確提出了“數學探究”，通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和在教師指導下“再創造”，從而促進學生的學習，發展學生的創新意識.本文通過實踐對數學課堂教學中的有效探究活動進行分析和探討.

【關鍵詞】高中數學；探究式教學；探究式學習

在傳統的教學中，教師負責教，學生負責學，教學就是教師對學生單向的“培養”活動，在這樣的教學中，學生是被教會，而不是自己學會.《普通高中數學課程標準》強調，學生的數學學習不能只是模仿、記憶、計算等低思維水平的活動，還應當要有動手實踐、自主探索、合作交流等高水平的思維活動.在這樣的學習中，探究活動確是一種不錯的學習方式.探究活動是新課程下一種強調學生自主、積極投身其中的學習方式.突出強調教師應從學生實際出發，創設有助于學生自主學習的問題情境及活動，引導學生實踐、探索、交流、發現和體驗所學內容，獲得知識，形成技能，發展思維，學會學習.在新課程標準指導下，新教材中的探究活動則給了我們在數學課堂上的探究學習提供了空間及素材.以下是本人在組織這些探究活動中的一些做法.

1.在組織探究時，根據題目，教給學生探究問題的方法，將“授之以魚”變為“授之以漁”，即在探究中，不僅要使學生學到知識，還要學生學到方法.

例如在《合情推理》一節有一道例題：由1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，1+3+5+7+9=25，…能得出怎樣的結論？為解決這道題，我先引導學生觀察這幾個式子具有的特征，由于特征比較明顯，學生在教師的引導下較快便能說出這幾個式子分別可以敘述成“前2個連續奇數的和等于2的平方”“前3個連續奇數的和等于3的平方”，等等.我再進一步引導：“以此類推，你能得到什么猜想？”這時學生已能馬上得到“前n個連續奇數的和等于n的平方，即1+3+5+…+（2n-1）=n2”這樣的猜想.得出這個結論后我并沒有讓這道題就此結束，而是繼續引導學生：“對于這道題本身，得到這結論已是足夠，但我們知道，由歸納推理得出的結論不一定是可靠的，所以我們若能給出這個結論的證明則更加完美.”對這個結論的證明并不是很困難，于是我讓學生自己動手證明.從這個活動中，學生不僅自己完成了一道歸納推理的題目，而且懂得了觀察——猜想——證明的研究方法.

2.在組織探究時，有時也可根據題目的難度、學生的實際情況，讓學生思考并提出探究的方法，教師幫助學生修正、完善方法，并讓學生自己動手嘗試.新課程注重讓學生在學習過程中體驗數學和經歷數學，因此，探究教學活動要關注學生個人知識和直接經驗，應當賦予學生更多思考、操作和交流的機會.

在《指數與指數冪的運算》一節，課本提出了“等式nan=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么nan等于什么？”的問題，對于這個問題，我先讓學生思考片刻，考慮用什么方法進行探究，有的學生提出了能否取值驗證.我再問：“那么應取什么值呢？”有一學生回答：“應是具有代表性的值，例如正數、負數.”又有學生補充：“也可取奇數、偶數.”這時我對學生的看法予以肯定并提醒學生：“0是一個較特殊的值，是否也應考慮呢？”之后讓學生自己嘗試取幾組不同的n，a的值驗證.當學生發現等式不一定成立時，再問：“有什么規律嗎？”于是學生觀察自己所取的值，并分組討論交流得到“當n為奇數時，nan=a；當n為偶數時，nan=|a|=a，a≥0，

-a，a<0”的結論.在這一過程中，學生在探究中學到知識，既印象深刻，又嘗到了成功的喜悅.

3.在組織探究時，通過鼓勵學生一題多解并勇敢提出自己的看法，培養學生的開放性思維和創新精神.《普通高中數學課程標準》明確指出：高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識.

例如有這樣一道題：已知數列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…則數列的第k項是.對于這道題，我讓學生自己找規律并發表意見.思考片刻后有一學生回答：可以看每項的第一個數1，a，a2，a3，…發現每項的第一個數都為a的冪，且指數為項數減去1，則第k項的第一個數應為ak-1，而共k個數相加，故第k項為ak-1+ak+…+a2k-2.這時另一學生得到啟發，提出可以看第一個數那是否可以看每一項的最后一個數1，a2，a4，a6，…的看法，我對他的看法表示肯定，并鼓勵他按這種思路繼續思考下去，最后他發現這些數的指數均為偶數且都為項數的2倍減去2，所以第k項的最后一個數應為a2k-2，且共k個數相加，故第k項為ak-1+ak+…+a2k-2.到了這里學生的發言停了下來，顯然學生沒有找到新的規律了，我便提示：大家看一下指數與項數有何關系？學生按這個方向去找，也有學生提出了看法：這個數列每一項的項數剛好是第2個數的指數，說明第k項的第2個數應為ak，由此也可得出正確答案.從這道題的教學中學生的思維得到了發展，也無形中對學生的創新精神的培養起到一點作用.

而一些開放題也是培養學生創新精神的好素材.在《直線的參數方程》一節有一道探究題：若過定點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線x=x0+tcosα，

y=y0+tsinα（t為參數）與曲線y=f(x)相交于M1，M2兩點，它們對應的參數分別為t1，t2，（1）弦長|M1M2|為多少？（2）若點M為線段M1M2的中點，則點M對應的參數是什么？（3）你還能提出和解決哪些問題？此題的第（3）小題就是一道開放題，對這道題我并沒有輕易放過，而是布置學生課后思考并寫成作業上交.學生在作業中提出了各種各樣的想法，如“|M0M1|，|M0M2|的積、商是什么？”“線段M0M1，M0M2的中點對應的參數分別是什么？”“線段M1M2的三等分點對應的參數是什么？”甚至有的學生提出“線段M1M2的n等分點對應的參數是什么？”的問題，并都很好地解決.從中可以看出學生的思維非?；钴S.

4.在組織探究時，適時地運用信息技術，把信息技術作為一種讓學生主動探究、分析研究的工具，鼓勵學生采用現代的科學技術手段去探究、發現和創造.《算法》這一章的學習恰好為學生提供這么一個學習探究的平臺.

學生在學習循環語句兩種語句結構——當型（WHILE語句）和直到型（UNTIL語句）時，總會混淆兩種語句，特別是兩種語句中要滿足的條件部分總要搞錯.如要求用UNTIL語句編寫計算機程序來計算1+2+3+…+100的值時，總有學生將程序寫成以下形式：

在這個程序中，顯然LOOPUNTIL后的條件寫錯了，應為i>100.為解決這個問題，我讓學生上機操作，將以上的程序在計算機上運行，這時學生會發現運行的結果是1，這顯然是錯誤的.然后要求學生回憶兩種語句的區別：WHILE語句是先判斷條件的真假，若條件真則執行循環體，否則退出循環體；而UNTIL語句是先執行循環體，再判斷條件的真假，若條件為真則退出循環體，否則再次執行循環體，直到條件為真.所以以上程序會先執行循環體，此時sum=1，i=2，再判斷條件i≤100是否為真，顯然2≤100為真，于是退出循環體執行輸出語句，因此輸出結果為1.而要計算出正確答案，必須在計數變量i超過100之后才能退出循環體，那么只需修改LOOP UNTIL后面的條件即可.于是我要求學生修改后再上機驗證，然后用WHILE語句編出程序再上機驗證，并與UNTIL語句對比，弄懂兩者的區別.經過這一過程的學習，學生印象深刻，對兩種語句的區別理解得更透徹，以后也就不易再犯這樣的錯誤了.

而在整個編程的學習中，學生在設計一個算法時，可以讓學生邊編程邊上機驗證邊修改完善，讓學生可以及時看到自己設計的算法的可行性、有效性，這不但可以很好地激發學生的興趣，而且能提高學習效果.

與信息技術的整合不僅應用于《算法》一章，在其他章節的組織探究中同樣可以應用.如在講指數、對數函數的性質時，可以用幾何畫板畫出圖像，讓學生觀察圖像猜想性質并動手操作驗證.又如在講圓錐曲線時，可用幾何畫板展示圓錐曲線的形成過程，讓學生印象深刻.再如講漸開線與擺線時，可應用計算機展現心臟線、螺線、玫瑰線、擺線、漸開線等，使學生感受這些曲線的美.

5.在組織探究時，指導學生制作傳統的教具和模型，再利用它們的直觀性來對立體幾何問題進行探究，同樣具有簡易、直觀的特點.這有利于培養學生掌握從直觀到抽象，從特殊到一般的探究、推理、證明的方法.

例如在學習《幾何體的表面積》一節時，讓學生在課前先做幾何體的模型，上課時讓學生沿著模型一邊展開得到幾何體的展開圖，那么如何計算幾何體的表面積就一目了然了.而對于立體幾何中的點、線、面的位置關系，可讓學生用紙板代表平面，鋼線代表直線，根據題意放置紙板及鉛筆，那么它們的關系就直觀地出現在眼前了.

再如在探究直線與平面垂直的判定定理時，我讓學生準備一張三角形紙片做課本的試驗：如圖，過△ABC的頂點A隨意翻折紙片得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（即BD，DC與桌面接觸），觀察折痕AD是否與桌面垂直，并思考應怎樣翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直.從這個試驗中，學生不難得到線面垂直的判定定理，這比起直接告訴學生結論有更好的教學效果.

6.在組織探究時，教師根據探究題目，事先精心設計一系列問題，組織學生依次逐步深入探究，使探究活動更加有的放矢，有序和有層次化.

在解決《兩條直線的交點坐標》一節中的探究問題“當λ變化時，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么圖形？圖形有何特點？”時，我設計了一系列問題：

①當λ=1時，方程表示什么圖形？

②當λ=-1，λ=-2，λ=0，λ=2，λ=3時呢？

③把這些圖形畫在同一個直角坐標系中，你發現了什么？

④這些直線所過的點是一個具有什么特點的點？

⑤當λ取其他值時，也有這樣的結論嗎？

⑥你能證明你的結論嗎？

學生按照這幾個問題依次探究，那么“當λ變化時，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示無數條經過直線3x+4y-2=0與直線2x+y+2=0的交點的直線”這個結論的得到就顯得順理成章了.

7.在組織探究時，要求學生以小組為單位在課后進行探究，然后寫成一篇小論文.從中培養學生搜集和處理信息的能力以及創新能力，又培養了學生樂于探究、團結協作的精神.

對“反函數”這個知識點，教材并沒有深入研究，只是在學習了指數函數與對數函數后指出它們互為反函數，那么兩個互為反函數的函數的圖像之間有什么關系呢？課本出現這樣一道“探究與發現”的題目——互為反函數的兩個函數圖像之間的關系.對于這個題目我是這樣處理的，先把學生分成若干個小組，讓他們先搜集查找相關資料，再根據課本提出的問題依次探究解決，逐步深入地探究，從而得到結論，并寫成一篇小論文.而教師則鼓勵學生大膽創新，多舉實例，說明結論.在此過程中，學生有分工有合作，互相學習，互相取長補短，互相促進，使學生更加團結一致.從學生上交的論文來看，雖然仍顯稚嫩，但看得出學生確實是投入了精力去完成這項探究任務的.

總而言之，讓學生在課堂上進行自主的探究，能激發學生學習探索的興趣及欲望，能使課堂變得更活躍于師生的互動中，能提高教師的教學及學生的學習效果.

【參考文獻】

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