微積分在不等式證明中的應用

【摘要】不等式證明是數(shù)學學習中的一個難點.在不等式的許多證法中，往往需要較高的技巧.利用微積分的思想證明不等式，可使不等式的證明過程大大簡化，技巧性降低.本文主要探討的是運用微積分的知識證明不等式的基本方法.

【關鍵詞】不等式；微積分；中值定理；泰勒公式

不等式是數(shù)學課程的重要內容，它反映了各變量之間很重要的一種關系，在解各類方程、有關函數(shù)的問題、三角證明、幾何證明等許多方面都有廣泛的應用.在不等式的初等證法中，往往需要較高的技巧，而利用微積分學中的微積分思想可以使不等式的證明思路變得簡單，技巧性降低.本文主要探討使用函數(shù)的單調性、微分中值定理、泰勒公式、極值判定定理等微積分的知識來證明不等式的一些基本方法.

1.利用函數(shù)的單調性

利用函數(shù)單調性來證明不等式時，往往要引入適當?shù)妮o助函數(shù)將不等式問題轉化成比較兩個函數(shù)值的大小，若要比較兩個函數(shù)值大小，只要將不等式兩邊的式子相減或相除就可以得到所需的輔助函數(shù)；另外不能忘了端點值.當遇到一階求導無法判斷符號時可用二階導數(shù)來判斷函數(shù)的符號.

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