基于ARFIMA(p,d,q) 模型的中國(guó)股市長(zhǎng)期記憶性研究

［摘 要］本文運(yùn)用三種估計(jì)時(shí)間序列長(zhǎng)期記憶模型（ARFIMA（p，d，q） 模型）的方法（MLE、SPR和GPH）對(duì)中國(guó)股市的長(zhǎng)期記憶性特征進(jìn)行了實(shí)證研究，研究顯示出MLE方法優(yōu)于GPH與SPR方法，并得出中國(guó)股票市場(chǎng)具有一般新興股票市場(chǎng)的特征—長(zhǎng)期記憶性，但中國(guó)股票市場(chǎng)的這種記憶性在逐漸弱化。

［關(guān)鍵詞］ ARFIMA（p，d，q） 模型 MLE SPR GPH

一、引言

股票市場(chǎng)長(zhǎng)期記憶效應(yīng)問(wèn)題一直是金融經(jīng)濟(jì)學(xué)家們倍感興趣的一個(gè)研究熱點(diǎn)。最早提出長(zhǎng)期記憶性概念并考察資產(chǎn)收益持久性問(wèn)題的是Mandelbrot，此后，長(zhǎng)期記憶性在金融領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。股票收益長(zhǎng)記憶性意味著股價(jià)波動(dòng)具有一種持久性，或長(zhǎng)期依賴性，對(duì)資產(chǎn)定價(jià)模型的效力具有潛在的重要影響。鑒于股市收益長(zhǎng)記憶性問(wèn)題的重大理論價(jià)值，國(guó)外學(xué)者在20 世紀(jì)90 年代以來(lái)進(jìn)行了大量的實(shí)證分析。多數(shù)研究表明，像美國(guó)那樣的國(guó)際性市場(chǎng)并不存在顯著的長(zhǎng)記憶性，而新興市場(chǎng)普遍存在長(zhǎng)記憶性，這也從另一個(gè)側(cè)面實(shí)證了新興市場(chǎng)的非有效性。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)研究人員也圍繞中國(guó)股票市場(chǎng)的長(zhǎng)記憶性問(wèn)題進(jìn)行了一些相關(guān)的研究。史永東采用經(jīng)典R/ S 分析證實(shí)滬深兩市股價(jià)指數(shù)的周收益率與月收益率序列存在持久性特征和分形結(jié)構(gòu)。然而，陳夢(mèng)根研究認(rèn)為中國(guó)股市僅少數(shù)個(gè)股存在長(zhǎng)記憶性，而總體股價(jià)指數(shù)并不存在長(zhǎng)記憶性。在這些研究中，由于使用的研究方法和樣本時(shí)段不同，再加上中國(guó)股市發(fā)展過(guò)程中采取了幾次重大政策變革，致使結(jié)論有所差異。

對(duì)于長(zhǎng)期記憶性的研究，主要有Levy 指數(shù)法、RPS 分析、修正RPS 分析與ARFIMA 模型方法。由于ARFIMA （p，d，q）模型在檢驗(yàn)股票收益序列是否具有長(zhǎng)記憶性時(shí)，并不需要事先知道數(shù)據(jù)的基本分布類型，這與傳統(tǒng)分析方法都要事先假定分布類型有所不同，因此，在金融時(shí)間序列分析中越來(lái)越受歡迎。在本篇文章中，將運(yùn)用三種估計(jì)該模型的方法對(duì)中國(guó)股市收益序列的長(zhǎng)期記憶性特征。

二、時(shí)間序列長(zhǎng)期記憶模型（ARFIMA（p，d，q） 模型）

在時(shí)間序列模型中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)不平穩(wěn)的過(guò)程，如收益率、匯率GDP、價(jià)格水平和消費(fèi)等。對(duì)于這種非平穩(wěn)的過(guò)程，隨著滯后增加，存在一些時(shí)間序列的ACF會(huì)以多項(xiàng)式速度緩慢衰減到0，通常我們把這種過(guò)程稱為長(zhǎng)期記憶或者長(zhǎng)期相關(guān)性時(shí)間序列。對(duì)于這種時(shí)間序列，近期使用的方法是對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行差分，使其變?yōu)槠椒€(wěn)過(guò)程。經(jīng)過(guò)差分所得到的模型為自回歸移動(dòng)平均（autoregressive integrated moving-average）模型或稱為Box與Jenkins（1976）的ARIMA(p、d、q)模型。在該模型中，當(dāng)d的絕對(duì)值小于0.5時(shí)，該時(shí)間序列具有一個(gè)無(wú)限移動(dòng)平均表示，但也是非平穩(wěn)的。基于這種原因，Granger和Ding對(duì)ARIMA(p、d、q)進(jìn)行了對(duì)其進(jìn)行單整和差分變換，提出了如下自回歸單整移動(dòng)平均ARFIMA(p、d、q)模型。設(shè)時(shí)間序列{xt}滿足如下的關(guān)系式：

則式（1）為ARFIMA(p，d，q)模型。該模型中，{}為白噪音序列，該序列服從均值為0，方差為的分布；的均值，與為p階自回歸和q階移動(dòng)平均算子；L是由定義的滯后算子，為分?jǐn)?shù)差分算子。

在ARFIMA(p，d，q)模型中，d可以是分?jǐn)?shù)，當(dāng)d ∈(0，0.5)時(shí)，定義該模型為長(zhǎng)期記憶模型，d ∈(-0.5，0)時(shí)，該中等記憶的或者說(shuō)是過(guò)度差分的，d值越大，波動(dòng)過(guò)程中記憶性越強(qiáng)。

此時(shí)式（1）是穩(wěn)定且可逆的。與如下譜密度函數(shù)結(jié)合，根據(jù)譜回歸可求出相應(yīng)的d值。

在式（2）中，為ARMA(p，q)過(guò)程中的譜密度函數(shù)，。

三、三種估計(jì)ARFIMA(p，d，q) 模型d值方法

在對(duì)ARFIMA(p，d，q) 模型的估計(jì)過(guò)程中，主要是對(duì)d值進(jìn)行估計(jì)，在估計(jì)差分參數(shù)d值得過(guò)程中，有很多種方法，大多都集中于對(duì)式（2）中譜密度函數(shù)的估計(jì)。在本篇文章中，作者也提供了三種不同的估計(jì)d值的方法，并對(duì)這三種估計(jì)方法進(jìn)行了比較研究。在這三種估計(jì)方法中，GPH與SPR方法主要是集中于對(duì)譜密度函數(shù)的估計(jì)，MLE則是運(yùn)用最大似然估計(jì)方法的原理來(lái)進(jìn)行估計(jì)。

1. GPH估計(jì)方法

GPH方法首先是由Geweke和Porter-Hudak(1983)年提出來(lái)的，該估計(jì)方法是建立在對(duì)譜密度函數(shù)取對(duì)數(shù)的基礎(chǔ)上的。在該估計(jì)方法中，首先對(duì)式（2）兩邊取對(duì)數(shù)，然后通過(guò)所得到的回歸方程估計(jì)d值，式（2）的對(duì)數(shù)方程為：

四、中國(guó)股市長(zhǎng)期記憶性研究

1.數(shù)據(jù)的基本統(tǒng)計(jì)特征描述

在運(yùn)用ARFIMA(p，d，q) 模型對(duì)中國(guó)股市進(jìn)行長(zhǎng)期記憶性研究的過(guò)程中，采用的數(shù)據(jù)是將上海和深圳證券交易所的上證指數(shù)和深圳成指的日收盤價(jià)格作為研究對(duì)象，使用指數(shù)日收盤價(jià)格的對(duì)數(shù)收益率rt = ln Pt -ln Pt-1 作為日收益率 ， Pt 為收盤價(jià)格，t為樣本時(shí)期。同時(shí)，以股市重大政策變革為依據(jù)將整個(gè)樣本區(qū)間分為四段，中國(guó)股市重大政策為：1996年12月26日 中國(guó)實(shí)行漲跌停板制度；1999年9月8日 中國(guó)政府宣布允許國(guó)有企業(yè)、國(guó)有資產(chǎn)控股企業(yè)、上市公司投資股票；2005年4月29日 中國(guó)股權(quán)分置改革試點(diǎn)工作正式啟動(dòng)。實(shí)證研究的所有實(shí)現(xiàn)過(guò)程是運(yùn)用R語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)的。

運(yùn)用上證指數(shù)（4436個(gè)數(shù)據(jù)）和深圳成指（4452個(gè)數(shù)據(jù)）的日收益率分別估計(jì)樣本序列直至滯后1500 階的自相關(guān)系數(shù)(ACF) 與偏自相關(guān)系數(shù)( PACF) 。從圖形顯示結(jié)果（如圖1）看，該數(shù)據(jù)有以下三個(gè)特點(diǎn):第一，多數(shù)樣本序列均表現(xiàn)出顯著的自相關(guān)與偏自相關(guān)結(jié)構(gòu)。第二，盡管自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)的值都比較小，上證指數(shù)與深圳成指的自相關(guān)系數(shù)分別在（-0.0589~0.1235）與（-0.0529~0.1240）之間，偏相關(guān)系數(shù)分別在（-0.0537~0.0543）與（-0.0489~0.0549）之間，但都并未迅速地下降為零，這說(shuō)明該時(shí)間序列不平穩(wěn)，需要對(duì)其進(jìn)行差分修正。第三，從時(shí)間序列相關(guān)圖顯示，樣本序列前1500階自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)沒(méi)有表現(xiàn)出某種明顯的季節(jié)性和周期性特征，表明了序列的線性自相關(guān)性與時(shí)間間隔大小沒(méi)有明顯關(guān)系。綜合以上分析可見，該樣本收益時(shí)間序列并不像傳統(tǒng)假設(shè)那樣服從正態(tài)分布，且序列平穩(wěn)。正如Taylor (1986) 所指出，上述這些跡象預(yù)示著該時(shí)間序列可能存在非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，該時(shí)間序列可能具有長(zhǎng)期記憶特征，可以運(yùn)用ARFIMA(p、d、q) 模型對(duì)其進(jìn)行研究。

2.結(jié)果分析

采用以上介紹的三種估計(jì)方法，對(duì)ARFIMA(p，d，q)模型的d 值進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)結(jié)果如表1。

從表1可以看出：第一，在對(duì)數(shù)據(jù)不進(jìn)行分段的情況下，采用三種方法分別進(jìn)行估計(jì)，上證指數(shù)的d值分別為：0.05401，0.05211，0.06067，深圳成指的d值分別為：0.05944，0.10637，0.08295。d值都出現(xiàn)在（0~0.5）之間，從而可以得出上證指數(shù)與深圳成指都具有長(zhǎng)期記憶性特征，并且深圳成指的記憶性特征要更顯著一些，這與深圳成指比上證指數(shù)更新興一些有關(guān)，因此，我們可以初步得出中國(guó)股市具有長(zhǎng)期記憶性特征的結(jié)論。從結(jié)論的有效性來(lái)看，運(yùn)用MLE方法計(jì)算出的結(jié)果更精確，標(biāo)準(zhǔn)誤差都在0.1%的水平下，這與徐龍炳、陸蓉、史永東 及龔六堂、李玉剛的結(jié)論基本一致，但與陳夢(mèng)銀的結(jié)論確基本完全相反；第二，從分段顯示的結(jié)果來(lái)看，運(yùn)用MLE估計(jì)方法的結(jié)果顯示出四個(gè)階段都具有長(zhǎng)期記憶性特征，這與總體估計(jì)結(jié)果完全一致，但d值都比較小，在（0~ 0.07）之間，說(shuō)明中國(guó)股市存在長(zhǎng)期記憶性，但這種記憶性比較弱化，也說(shuō)明中國(guó)股市在趨于弱勢(shì)有效。而且，運(yùn)用MLE方法的標(biāo)準(zhǔn)誤差也很小，都在0.1%以下；而運(yùn)用SPR方法顯示在上證指數(shù)和深圳成指的第二階段顯示出不具有長(zhǎng)記憶性， 運(yùn)用GPH方法顯示出深圳成指的第二階段也不具有長(zhǎng)記憶性，而是表現(xiàn)出短期記憶性或持續(xù)性特征，這也說(shuō)明在第二階段中國(guó)政府宣布的“允許國(guó)有企業(yè)、國(guó)有資產(chǎn)控股企業(yè)、上市公司投資股票”的股市策略對(duì)加強(qiáng)中國(guó)股市的有效性具有重大影響。相對(duì)于MLE來(lái)說(shuō)，SPR方法與GPH方法的標(biāo)準(zhǔn)誤差均比較大，SPR方法的標(biāo)準(zhǔn)誤差都在5%以下，GPH的標(biāo)準(zhǔn)誤差在5%~11%之間，這也顯示出這兩種方法在估計(jì)過(guò)程中可能受到了選取的周期函數(shù)的影響。而陳夢(mèng)銀在對(duì)中國(guó)股市記憶性進(jìn)行研究的過(guò)程中，對(duì)ARFIMA(p，d，q)模型采用了GPH方法，所以得出的結(jié)論有很大的不同。這也說(shuō)明，在算法的設(shè)計(jì)過(guò)程中，由于各種算法的局限性，在一定程度上會(huì)導(dǎo)致研究結(jié)果的不一致性。但在本篇文章中，作者根據(jù)得出的結(jié)果進(jìn)行綜合（估計(jì)方法與國(guó)家政策）判斷，MLE方法優(yōu)于SPR與GPH方法，也一直認(rèn)為中國(guó)股市指數(shù)存在一定的長(zhǎng)期記憶性特征，并且這種記憶性在逐漸弱化。

五、結(jié)論

在該實(shí)例的研究過(guò)程中，通過(guò)三種方法的比較研究可以看出，MLE方法相對(duì)GPH和SPR方法精確度要高一些，得出的結(jié)論也合理一些，這說(shuō)明在估計(jì)ARFIMA(p，d，q)模型的d 值時(shí)，采用MLE方法去進(jìn)行估計(jì)會(huì)更合理一些。通過(guò)三種估計(jì)方法結(jié)論的綜合研究，作者認(rèn)為中國(guó)股市同其他一些新興股市一樣，中國(guó)股市總體存在一定的長(zhǎng)期記憶效應(yīng)，但這種記憶性在逐漸弱化；另外，本文以股市的重大政策變革為分段依據(jù)將整個(gè)樣本分為四段，避免了結(jié)構(gòu)突變的影響，并且將分段結(jié)果與總體結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得出的結(jié)論比較可靠。從滬深股市分時(shí)段總體分析的結(jié)果來(lái)看，1996 年以后，中國(guó)股市的長(zhǎng)記憶效應(yīng)趨于弱化，表明中國(guó)股市逐漸趨于弱勢(shì)有效，這與國(guó)家多年來(lái)對(duì)股票市場(chǎng)的監(jiān)管力度加大，法制的完善，上市公司的信息披露力度加強(qiáng)等有一定的關(guān)系，說(shuō)明中國(guó)證券市場(chǎng)正逐漸步入成熟的軌道；這也與其它一些直接檢驗(yàn)中國(guó)股市有效性的研究結(jié)論是相吻合的。

參考文獻(xiàn)：

[1] Alchian， Armen A.， J. Haslett and A. E.Raftery(1989): Space-time Modelling with Long-memory Dependence: Assessing Ireland's Wind Power Resource (with Discussion)， Applied Statistics[J]， 38， 1–50.

[2] Geweke， J. and Porter-Hudak(1983)， :The estimation and application of long memory time series models ， Journal of Time Series Analysis[J] ， 4(4)， 221–238.

[3] E.M. Silvaa， G.C. Francob， V.A. Reisenc， F.R.B. Cruzb(2006)， :Local bootstrap approaches for fractional differential parameter estimation in ARFIMA models ， Computational Statistics Data Analysisv [J]， 51， 1002 – 1011.

[4] Jurgen A. Doornik and Marius Ooms (2001):Computational Aspects of Maximum Likelihood Estimation of Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average models ， JEL classification:C22， C63， 1-14.

[5] XU Li-xia(徐立霞)，LIU Ci-hua(劉次華)，NIE Gao-qin(聶高琴):Bayesian Estimation of Long Memory Models and it's Application to Exchange Rate[J]，《 MATHEMATICA APPLICATA》，2006，19(3)

[6] 陳夢(mèng)根：中國(guó)股市長(zhǎng)期記憶效應(yīng)的實(shí)證研究[J]，《經(jīng)濟(jì)研究》，2003(3)，70-78

[7] 楊桂元，趙宏寶：中國(guó)股市長(zhǎng)記憶性的實(shí)證分析[J]，，《科技與產(chǎn)業(yè)》2008(11)，61-64

[8] 峁詩(shī)松：《統(tǒng)計(jì)手冊(cè)(第二版)》[M]，科技出版社，北京， 2006，593-639

[9] http://stock.business.sohu.com/q/hp.php?code=1A0001

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