考慮結構應力的粘土一維非線性固結分析

摘 要：考慮結構性粘土的結構應力比以及施工荷載分級加載情況，建立了考慮結構應力比的天然飽和軟粘土一維非線性固結控制方程，采用Crank-Nicolson有限差分格式對固結方程進行了求解，并與不考慮結構應力比的一維線性和非線性固結結果進行了比較分析，最后針對不同η/c比值分析了天然飽和軟粘土的一維非線性固結性狀。研究表明，非線性參數(shù)η/c對固結速率有較大影響，η/c值越小孔壓消散越快，固結速率越大。在固結初始階段不考慮結構應力比的線性與非線性固結計算結果比較接近，隨著固結的發(fā)展，不考慮結構應力比的非線性固結由于未考慮粘土天然結構應力的存在高估了土體非線性的影響，而考慮結構應力比的非線性固結計算結果更接近于天然粘土的固結性狀。

關鍵詞：粘土；結構應力比；一維非線性固結；數(shù)值模擬

中圖分類號：TU443 文獻標志碼：A 文章編號：1674-4764（2012）02-0039-07

One-Dimensional Nonlinear Consolidation Analysis of Clay Considering Structural Stress

LIU Yang， GONG Zhi， WANG Zhe

(Civil and Environmental Engineering Institute， University of Science and Technology Beijing， Beijing 100083， P. R. China)

Abstract:One-dimensional nonlinear consolidation equations have been established taking into account the effect of structure stress ratio of natural clay and stepped time-dependent construction loading. Crank-Nicolson formula is adopted to solve these equations using the finite difference method. Numerical results are compared to those of linear and nonlinear consolidation taking no account of structure stress. Finally， effects of nonlinear parameter η/c on consolidation are analyzed， which indicates that consolidation rate increases with the decrease of η/c. Numerical results of considering structure stress or not are similar initially. With the development of consolidation， the nonlinear results of not considering the structure stress overestimate the effect of nonlinearity.

Key words:clay; structure stress ratio; one-dimensional nonlinear consolidation; numerical simulation



一維非線性固結理論的研究始于20世紀60年代，早期如Davis和Raymond［1］基于線性的e-lgp關系，假設滲透系數(shù)kv與體積壓縮系數(shù)mv是同步的，得出了固結系數(shù)cv為恒定量的固結方程，并且獲得了解析解。Mesri［2］等和Barden［3］等根據(jù)試驗得出e-lgp和e-lgkv經(jīng)驗關系，將其應用于飽和軟土一維固結研究中。謝康和等［4-5］建立了逐步加荷條件下單層和雙層地基一維非線性固結的解析解，并在以往研究的基礎上推導了考慮了應力歷史這一因素的一維非線性固結方程，其假定荷載為單級均布連續(xù)荷載，采用經(jīng)驗關系的e-lgp和e-lgkv非線性關系，未考慮天然土的結構性的影響。曹宇春等［6］建立了任意施工荷載下天然結構性粘土的一維非線性固結方程，但仍沿用e-lgp和e-lgkv的非線性關系。吳建等［7］同時考慮了固結過程中材料和幾何非線性。Menéndez等［8］采用有限元對不可壓縮流體和變滲透系數(shù)的非線性固結問題進行了分析。王俊等［9］對變滲透系數(shù)軟土的一維非線性固結進行了數(shù)值模擬。商衛(wèi)東和白冰［10］討論了荷載隨時間變化情況下的非線性固結問題的求解方法。鄧岳保和謝康和［11］研究了互補算法在一維非線性固結求解中的應用。

沈珠江［12］指出，結構性天然粘土具有高孔隙比、強滲透性以及陡降型壓縮曲線，并提出了結構應力比的概念。劉恩龍和沈珠江［13］還建立了能夠反映結構性土壓縮曲線在e-lgp坐標中的非線性數(shù)學關系，可用于結構性軟土的沉降計算。

本文將綜合考慮土的結構性和分級施工荷載影響，將lge-lgkv和lge-lgp雙對數(shù)關系的非線性模型引入到一維固結的研究之中，并引用結構應力比的概念建立結構性軟粘土的一維非線性固結控制方程，利用Crank-Nicolson差分法來求解，最后與不考慮土結構性的非線性固結結果和線性固結結果進行比較分析。此外，對天然結構性軟粘土和超固結土而言，雖固結曲線形狀不同但性狀類似，因此本文的研究方法也可進一步擴展至超固結土的一維非線性問題分析。

1 考慮結構應力比的土體非線性固結

1.1 非線性壓縮模型的選取

Chai［14］等指出，對于高靈敏度的天然結構性軟土而言，壓縮曲線在lge-lgp坐標系中的線性效果要優(yōu)于在e-lgp中，其表達式如下：

lg(e+ec)=lg(e+e0)－λlg(p/p0)

式中：λ為修正壓縮指數(shù)，即lg(e+ec)-lgp直線的斜率；ec為實驗參數(shù)。

大量實驗結果表明：ec的變化范圍在-1~1之間，當ec=0時，模型轉化為lge-lgp模型，當ec=1時，模型轉化為lg(e+1)-lgp模型。已有研究表明，lge-lgp壓縮模型能夠模擬相當一部分天然土的壓縮特性。故本文將使用lge-lgp壓縮模型。

圖1 結構性軟土壓縮曲線圖

對于結構性土，土體受荷前期土體結構未完全破壞（ppc，圖1中的BC段，斜率為η），土結構大部分破壞，故可建立分段壓縮方程為：

lge－lge0=－λlg(p/pc) （p≤pc）

lge－lge0=－λlg(pc/p0)－ηlg(p/pc)（p>pc）

（1）

1.2 非線性滲透模型的選取

MesriOlson［15］根據(jù)實驗分析發(fā)現(xiàn)，土體孔隙比的變化范圍過大時，e-lgkv滲透模型可能并不適用，因此對該模型做出了一些修正，提出了lge-lgkv滲透模型：kv=BeA。A，B為黏土滲透特性參數(shù)。該模型也可表示為：lgkv=lgB+Alge。

Al-TabbaaWood［16］、AibanZnidarcic［17］和Pane Schiffman［18］通過試驗證實了該模型能較好地描述孔隙比與滲透系數(shù)的關系。

本文采用這一非線性滲透模型，為了方便與lge-lgp進行聯(lián)合推導方程，將方程改寫為：

lge－lge0=clg(kv/kv0)（2）

式中：c稱為修正滲透系數(shù)。

1.3 非線性固結控制方程的建立

實際中大部分的施工荷載都是分級施加，假設施工荷載q(t)=pi(當ti

pt=q(t)t－ut(3)

由壓縮方程式（1）得：

e = e0 pp0 -λ （p≤pc）

e0 pc p0 -λppc -η = e0 St -λppc -η （p>pc）

(4)

式中：St=pc/p0為結構應力比。

式（4）兩端分別對時間t求偏導，并聯(lián)立式(1)、(2)得：

et = e0 (-λ)pp0 -λ-11p0 pt （p≤pc）

e0 St -λ(-η)pp0 -η-11pcpt

（p>pc）（5）

kv = kv0 pp0 -λ/c （p≤pc）

kv0 St-λ/cppc -η/c（p>pc）（6）

上述各式中：e、p和kv分別為飽和土當前孔隙比、有效應力和滲透系數(shù)；e0、p0和kv0分別為飽和土初始孔隙比、初始有效應力和初始滲透系數(shù)；u為當前飽和土的超靜孔隙水壓力；q(t)為當前施工荷載；γw為水重度。

小應變條件下飽和軟土一維固結方程為：

1γwzkvuz=11+e0et（7）

將式（4）、（5）、（6）代入式（7），可得考慮結構應力比與分級加載影響的一維非線性固結方程：

1γwzkv0pp0－λ/cuz=e0λ1+e0pp0－λ－1·

1p0ut－q(t)t （p≤pc）

 1γw zkv0 St -λ/cppc -η/cuz=e0 St -λη1 + e0 pp0 -η-1·

1pc ut-q(t)t （p>pc）（8）

邊界條件和初始條件為：

u=0（t=t1=0，0≤z≤H，H為土層厚度）

z=0 u=0

z=H uz=0(底面不排水)或u=0(底面排水)。

1.4 固結方程的差分法求解

方程(8)為二階非線性偏微分方程，本文采用Crank-Nicolson有限差分法來求解該偏微分方程。

對p=p0+q(t)－u兩邊關于z求導得：u/z=γ′－p/z，則方程(8)可改寫為:

zkv0 pp0 -λ/cpz-γ′-γw e0 λ1 + e0 pp0 -λ-1·

1p0 pt = 0 （p≤pc）

zkv0 St -λ/cppc-η/cpz-γ′-γw e0 St -λη1 + e0 ·

pp0 -η-1

1pcpt = 0 （p>pc） 

（9）

整理式（9）可得：

pp0 -λ/c2pz2 + λγ′cp0 pp0 -1-λ/c(1 + pp0 )pz-λp-1-λ/ccp0 -λ/cpz2-λp-λ/cγ′2cp0 1-λ/c-λγw e0 kv0 (1 + e0 )·

p-1-λp0 -λpt = 0 （p≤pc）

St -λ/cpp0 -η/c2pz2 + ηγ′p-1-η/ccp0 -η/c(1 + pp0 )pz-

ηcSt -λ/cp-1-η/cp0 -η/cpz2-ηp-η/cγ′2cp0 1-η/c-γw e0 St η-λ-η/c(1 + e0 )kv0 p-1-ηp0 -ηpt = 0（p>pc）

（10）

由有效應力原理，故初始條件和邊界條件也相應變?yōu)椋?/p>

p=p0（t=t1=0，0≤z≤H，H為土層厚度）

z=0 p=p0+q(t)

z=Hp/z=γ′(底面不排水)或

p=p0+q(t)(底面排水)

方程（10）的差分格式為：

pnj(p0)j-λ/cpn+1j+1-2pn+1j+pn+1j-1+pnj+1-2pnj+pnj-12(ΔZ)2

+λγ′cp0jpnj(p0)-1-λ/c1+pnj(p0)jpnj+1-pnj-12ΔZ-

λcp-λ/c0j(pnj)-1-λ/cpnj+1-pnj-12ΔZ2-λγ′2cp1-λ/c0j(pnj)-λ/c

-λγwe0kv0(1+e0)j(pnj)-1-λ(p0)j-λpn+1j-pnjΔT=0

→當pnj≤(pc)j時

pnj(p0)j-η/c［(St)j］-λ/cpn+1j+1-2pn+1j+pn+1j-1+pnj+1-2pnj+pnj-12(ΔZ)2

+ηγ′cp0jpnj(p0)j-1-η/c·

1+pnj(p0)jpnj+1-pnj-12ΔZ-

ηcp-η/c0j［(St)j］-λ/c(pnj)-1-η/cpnj+1-pnj-12ΔZ2-ηγ′2cp1-η/cj(pnj)-η/c-

ηγwe0Sη-γ-η/ctkv0(1+e0)j·(pnj)-1-η［(p0)j］-ηpn+1j-pnjΔT=0→當（pnj＞(pc)j）時



式中：ΔZ為空間步長；ΔT為時間步長；j代表空間節(jié)點數(shù)，j=1，2，3，…m，其中m為土層離散結點總數(shù)；n代表時間節(jié)點數(shù)，n=1，2，3，…。如令：

B=(ΔZ)2λe0γwΔT(1+e0)kv0，D = (Δ Z)2ηe0 γwSt λ/c-η/c + η-λΔ T(1 + e0 )kv0 

則上式整理后用一個通式表示為：

pn+1j－1+Ej·pn+1j+pn+1j+1=Fj (j=1，2，3，…m)

式中：當pnj≤(pc)j時，Ej = -2-2B(pjn)λ/c-λ-1(p0 λ/c-λ)j 。

Fj=2(ΔZ)2λγ′2cp0j+λγ′ΔZcj1pnj+1(p0)j·

(pnj－1－pnj+1)－pnj－1+2pnj－pnj+1+λ2cj1pnj·

(pnj+1－pnj－1)2－2Bpnj(p0)jλ/c－λ

當pnj>(pc)j時，Ej = -2-2D(pjn)η/c-η-1(p0 η/c-η)j 

Fj=2(ΔZ)2ηγ′2cp0j+ηγ′ΔZcj1pnj+1(p0)j·

(pnj－1－pnj+1)－pnj－1+2pnj－pnj+1+η2cj1pnj·

(pnj+1－pnj－1)2－2Dpnj(p0)jη/c－η

上式亦可用矩陣形式表示：

En≤Pn+1=Fn

其中，單面排水時，Ej，F(xiàn)j（j=2，3，…m－1），E1=1，F(xiàn)1=pn+11。

當pnm≤(pc)m時 ，

Fm=－2pnm－1－4(γ′)mΔZ+2pnm－

2B［pnm(p0)m］λ/c－λ

當pnm>(pc)m時，

Fm=－2pnm－1－4(γ′)mΔZ+2pnm－

2D［pnm(p0)m］η/c－η

雙面排水時，E矩陣中元素2變?yōu)?，P、F 表達式同前，同理Ej，Fj（j=2，3，…m－1）亦如前，E1=1，Em=1，F1=pn+11，F(xiàn)m=pn+1m 。

矩陣方程中關于未知數(shù)都是線性的，因此根據(jù)初始條件可以使用追趕法來求解。土層平均固結度采用謝康和等［19］建議的按孔壓定義的計算平均固結度公式，即：

Up=q(t)－u(t)qu=q(t)qu－∫H0udzHqu=q(t)qu－1Hqu∑mj=1∫zjzj－1ujdz

=q(t)qu－1qu∑mj=1uj(t)zj

式中：Up為土層平均固結度；q(t)為計算時刻的施工荷載；qu為施工結束后的荷載；uj(t)為計算時刻某深度點的孔壓。

根據(jù)上述算法，編制了相應的C++MFC計算程序來求解一維非線性固結問題。

2 考慮結構應力比的非線性固結算例

假設分級施工荷載變化如圖2，固結參數(shù)如表1所示。差分計算假定空間步長取ΔZ=0.05 m，時間步長ΔT=0.5 d，修正滲透系數(shù)c=0.14。

圖3和圖4分別為t=150 d時的孔隙水壓力隨深度變化曲線及固結度曲線。從圖中可以看出，考慮結構應力比的超孔隙水壓力遠小于不考慮結構應力比的計算結果，且隨深度的增加差值越來越大，而太沙基線性固結的計算結果則介于兩者之間。這是由于土體結構性的存在，當有效固結應力小于土結構屈服應力時，土體壓縮性較小，如果考慮了結構應力比，非線性固結分析得到的超孔隙水壓力有較明顯的消散，從而其固結度也要比不考慮結構應力比的非線性固結度大些。當有效固結應力大于土的結構屈服應力后，土體結構逐漸破壞，其孔壓發(fā)展與固結曲線變化較復雜，下節(jié)將詳細討論。

圖3 超孔隙水壓力與深度關系曲線

圖4 固結度與時間關系

3 與現(xiàn)場實測值的比較分析

實測資料來源于文獻［20］，該工程位于深圳灣，土層為海相沉積軟土，結構性強，土層的物理力學參數(shù)如表2所示。現(xiàn)場試驗加載方式簡化為分級加載，如圖5所示。

加載過程5 m深處的孔壓和固結度實測值與本文的非線性固結計算程序計算的結果比較如圖6和圖7。從圖中可以看出超孔隙水壓力變化曲線和固結度與實測值的曲線比較接近，計算結果證明了本文方法的有效性。

4 非線性參數(shù)對計算結果的影響分析

4.1 η/c比值變化影響

在非線性固結分析中，η/c比值的不同必定會固結過程有影響，Berry Wilkinson［21］指出：η/c在0.5~2之間，而且大多在0.5~1之間。為了考慮η/c比值變化對土體固結的影響，取η/c從0.1~3.0進行分析。計算中固定c=0.14，變化η來改變η/c比值，其中考慮結構應力比的非線性參數(shù)λ均取0.007，不考慮結構應力比的非線性參數(shù)取與η同值，線性固結參數(shù)不變以作為參考，其余參數(shù)同表1。限于篇幅，圖8給出了η/c=0.1、0.3、0.5、0.7、1.0、1.2、1.5、2.0等8種比值的超孔隙水壓力時間曲線以及固結度曲線。

從圖中可以看出，η/c比值對非線性固結速率有較大影響，η/c越小，固結速率越快。

當η/c<0.5時，不考慮結構應力比的固結曲線在線性固結與考慮結構應力比的固結曲線之間。比值較小時考慮與不考慮結構應力比的曲線差別不大，隨著η/c比值的增加，非線性固結與線性固結差值逐漸減小，不考慮結構應力比的非線性固結曲線變化更快，逐漸接近線性固結曲線，特別是在固結初始階段。

隨著η/c比值的增加，不考慮結構應力比的非線性固結曲線越過線性固結曲線，考慮結構應力比的非線性固結與線性固結的差值逐漸減小，但在固結初始階段二者仍有較大差別。隨著η/c比值繼續(xù)增加，二者出現(xiàn)交點，交點位置位于外荷載等于結構屈服應力處，η/c比值增加，交點位置基本不變。

固結初始階段，在外荷載未達到土結構屈服應力之前，不考慮結構應力比的非線性固結由于未考慮粘土天然結構應力的存在而高估了土體非線性的影響，致使計算的超孔隙水壓力偏大。太沙基線性固結既未考慮土的結構應力也未考慮土壓縮與滲透的非線性，綜合的結果是其固結曲線位于上述兩者之間。

在外荷載超過土結構屈服應力之后，土天然結構逐漸破壞，但由于初始壓縮階段（未到達結構屈服應力之前）的差別，考慮與不考慮結構應力比的固結曲線并不重合，近似平行發(fā)展。太沙基線性固結因為忽略了固結后期孔隙比和滲透系數(shù)的降低而高估了固結速度，隨著η/c比值的增加，非線性固結與線性固結曲線差值逐漸增加。

4.2 進一步的討論

上述分析是基于一組固定的參數(shù)(除η有變化)得出的結果，此外本文還進行了不同參數(shù)取值的固結分析。研究結果表明，對于不同參數(shù)固結曲線變化規(guī)律一致，但3種曲線變化相對位置的η/c界限值有差異。

就工程實踐來說，η/c比值一般在0.5~1.2之間，考慮結構應力比的非線性固結最接近天然粘土的固結特性。當外荷載到達結構屈服應力之前，太沙基線性固結曲線接近考慮結構應力比的非線性固結曲線，可以近似使用。但當外荷載大于粘土的結構屈服應力之后，太沙基固結理論由于忽略了粘土固結的非線性而偏離實際情況較大。而不考慮結構應力比的非線性固結理論由于沒有考慮固結初始階段粘土結構性的影響而低估了粘土的固結速率，與實際也有較大偏差。

需要指出的是，本文并未考慮天然飽和軟粘土的蠕變影響，文獻［22］指出，在結構性軟土固結過程中應考慮結構應力和蠕變的雙重影響，否則會與實測結果偏差較大，并帶來安全隱患。

5 結 論

建立了考慮結構應力比的飽和軟粘土一維非線性固結控制方程，并采用有限差分法進行了求解，針對不同η/c比值分析了飽和軟粘土的一維非線性固結性狀，研究得出以下結論：

1)非線性參數(shù)η/c的取值對固結速率有較大影響，η/c值越小孔壓消散越快，固結速率越大。

2)不考慮結構應力比的非線性固結與太沙基線性固結在固結初始階段計算結果較接近，但隨著固結的發(fā)展，不考慮結構應力比的非線性固結由于未考慮粘土天然結構應力的存在而高估了土體非線性的影響。

3)就工程實踐來說，η/c比值一般在0.5~1.2之間，考慮結構應力比的非線性固結更接近天然粘土的固結性狀，本文計算結果與實測值的比較也說明了這一點。

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（編輯 王秀玲）