具有半封閉隧道的飽和粘彈性土動力特性

摘 要：考慮介質和流體的壓縮性，根據Biot理論和彈性殼體理論，在頻率域內研究了飽和分數導數粘彈性土體-半封閉圓形隧道殼體襯砌系統耦合振動。將土體視為液固飽和多孔介質，選擇反映介質流變特性的分數導數模型描述土骨架的應力-位移本構關系，又引入部分透水的邊界條件，得到了飽和粘彈性土體中半封閉隧洞內邊界分別在軸對稱荷載和流體壓力作用下位移、應力和孔壓的表達式。進行了參數分析，研究表明：軸對稱荷載條件下，分數導數階數對系統響應的影響遠大于流體壓力情形下的動力響應，且存在明顯的共振效應，但流體壓力條件下不產生共振現象。

關鍵詞：飽和多孔介質；分數導數模型；半封閉隧道；殼體襯砌；耦合振動

中圖分類號：TU435 文獻標志碼：A 文章編號：1674-4764（2012）02-0021-06

Coupled Vibration of Saturated Fractional Derivative Type Viscoelastic Soil of a Circular Tunnel with Partially Sealed Shell Lining

GAO Hua-xi1， WEN Min-jie2

(1. School of Naval Architecture and Civil Engineering， Zhejiang Ocean University， Zhoushan 316004， Zhejiang， P. R. China;

2. Department of Civil Engineering， Shanghai University， Shanghai 200072， P. R. China)

Abstract:Considering the compression of medium and fluid， coupled vibration of saturated fractional derivative type viscoelastic soil and a circular tunnel with partially sealed shell lining in the frequency domain is investigated according to theories of Biot and elastic shell. The stress and displacement constitutive behavior of the soil skeleton is described by fractional derivative model which reflects the rheological properties of the medium while regarding soil as a liquid-solid saturated porous medium. The expressions of displacement， stress and pore water pressure are obtained while the inner boundary of circular tunnel is subjected to axially symmetric radial traction and axially symmetric fluid pressure respectively by introducing a partially permeable boundary condition. With the parameter analysis， it is revealed that the order of fractional derivative model on the responses for the system subjected to the symmetric radial traction is much greater than that of the system under the axially symmetric fluid pressure. And resonance phenomenon occurs obviously. Nevertheless the system responses do not have remarkable resonance phenomenon under axially symmetric fluid pressure.

Key words:saturated porous medium; fractional derivative model; partially sealed tunnel; shell lining; coupled vibration



眾所周知，土體具有粘彈性性質，在長期條件下發生蠕變和應力松弛現象。許多研究者經常利用經典的Maxwell流體模型、Kelvin固體模型及標準固體粘彈性模型等來反映土體的流變特征［1-2］。然而，經典粘彈性模型難以精確描述土體流變全過程，即在蠕變和應力松弛初期不能完全與試驗數據吻合［3-4］。另外，將土體視為彈性兩相介質，Lu和Jeng［5］得到簡諧移動荷載下三維圓形隧洞的動力特性，分析了應力、位移和孔壓幅值隨軸向的變化規律。此后，黃曉吉等［6］人研究了飽和土彈性襯砌系統耦合振動特性，著重討論了襯砌模量對響應幅值影響；高盟等［7］研究了沖擊荷載作用下飽和土彈性襯砌相互作用的瞬態響應。Hasheminejad和Kazemirad［8］得到了地震激勵下偏心襯砌透水隧洞的動力響應，討論了變形襯砌厚度、波入射角等參數的影響。考慮土體粘性影響，Xie等［9］、Xu和Wu［10］、Liu等［11］等利用Kelvin-Voigt模型描述土骨架的應力-位移本構關系，研究深埋隧洞或球空腔的動力響應。為解決圍巖壓力理論計算襯砌承受荷載及成本高問題，Li和Chen［12］、Xie等［13］、劉干斌等［14］等研究飽和彈性或粘彈性土-圓形隧洞殼體襯砌系統的振動特性。考慮隧洞的彈塑性解，張黎明等［15］得到了襯砌透水隧洞的應力和位移場。基于實際工程影響，湯雷和傅翔［16］、呂璽琳和王浩然［17］分別研究了水工隧洞施工缺陷對襯砌承載性能影響和軟土盾構隧道開挖面的穩定性。

然而，自Bagley和Torvik［18］提出分數導數概念以來，其理論彌補了經典粘彈性模型的這一缺陷，可更好地擬合蠕變和松弛曲線［19-20］。但是，利用分數階導數本構關系在巖土工程領域中的應用研究較少。因此，本文在現有研究的基礎上，基于Biot理論，利用分數導數模型來描述土骨架的應力位移本構關系，引入更符合實際工程的部分透水邊界條件，得到了在軸對稱荷載和流體壓力作用下飽和分數導數粘彈性土體中半封閉隧洞的位移、應力和孔壓表達式。分析了分數導數階數、材料參數和相對滲透系數對系統響應的影響。

1 數學模型和控制方程求解

如圖1，建立飽和粘彈性中圓形襯砌隧洞的數學模型。隧洞的內外半徑分別為c和b，襯砌的厚度為h=b-c；a為襯砌中曲面半徑。土體的剪切模量和孔隙率分別為G和φ0，其泊松比為vs，襯砌的楊氏模量和泊松比分別為El和vl；襯砌內邊界分別作用軸對稱荷載q0eiωt和均布流體壓力qfeiωt(i2=-1)。將該問題視為平面應變問題，根據Biot飽和土理論，不計體力時極坐標下飽和粘彈性土體動力方程為［21］

圖1 圓形隧洞模型

σSTrr+σSTr－σSTθr=2t2ρuSr+ρfwFr(1)

式中:uSr、wFr分別表示土骨架的徑向位移和流體相對于土骨架的徑向位移；σSTr、σSTθ代表土體的徑向和環向總應力；土體的總密度為ρ=(1－φ0)ρs+φ0ρf，ρs，ρf分別為土骨架和流體的密度。

顯然，極坐標下分數導數模型描述的土骨架應力應變本構關系為［19］

1+νγεDγσSEr=1+νγσDγλS0uSrr+uSrr+2GuSrr

1+νγεDγσSEθ=1+νγσDγλS0uSrr+uSrr

+2GuSrr(2)

式中：λS0為拉梅常數；νγε和νγσ為材料參數，λS0=2νsG(1－2νs)；且0<γ<1，Dγ=dγdtγ為γ階黎曼劉維爾分數階導數，可定義為

Dγ［x(t)］=1Γ(1－γ)ddt∫t0x(ν)(t－ν)γdν(3)

Γ(u)=∫∞0tu－1e－udt為Gamma函數。

由有效應力原理，可得

 σSTr=σSEr－βpσSTθ=σSEθ－βp(4)

孔隙水壓力滿足如下本構關系

p=－MwFrr+wFrr－βMuSrr+uSrr(5)

式中：β、M為有關Biot參數，反映流體壓縮性。

流體運動方程

－pr=2t2ρfuSr+ρfφ0wFr+η0kswFrt(6)

對于角頻率為ω的穩態振動，記

uSr=aUSreiωt，wFr=aWFreiωt，p=GPeiωt

φS=a2Seiωt，ψF=a2Feiωt(7)

為求解用位移表示的控制方程，利用位移勢函數uSr=φS/r和wFr=ψF/r再引入如下無量綱量和常量

η=ra，=MG，=ρfρ，0=η0aGρ

s=ksa2，b=0s，λ=ωaVS，Vσ=νσVSa

Vε=νεVSa，=φ0，Q1=q0G，Q2=qfG

η1=1+h2a(8)

可得無量綱后的土體控制方程外為

χ1+β2+λ2S+β+λ2F=0

β+λ2S++λ2－biλF=0 (9)

式中：χ1=1+Vγσ(iλ)γ1+Vγε(iλ)γ2(1－vs)1－2vs

再由控制方程式(9)，解得：

2－m1+m2S=0

2－m1+m2F=0(10)

式中：

m1=γ1/χ1

m2=λλ2－biλ－2λ4/χ1

γ1=χ1+β2biλ－λ2－λ2+2βλ2

=d2/dη2-+/ηη(11)

利用貝塞爾函數漸近性質和limr→∞φS=0，limr→∞ψS=0，可易解得

S=A1K0β1η+A2K0β2η

F=B1K0β1η+B2K0β2η(12)

式中：

β21=m1－m21－4m22

β22=m1+m21－4m22(13)

A1，A2，B1，B2為待定系數，Kn(·)為n階第2類Bessel函數。將式(10)代入(9)，可得到：

B1=e1A1=－ββ21+λ2β21+λ2－biλA1

B2=e2A2=－ββ22+λ2β22+λ2－biλA2(14)

將式(12)和式(14)代入位移勢函數，可得：

uSr=－A1β1K1β1η－A2β2K1β2η

wFr=－e1A1β1K1β1η－e2A2β2K1β2η(15)

由本構關系式(5)，可得孔隙水壓力為：

P=－(e1+β)β21K0(β1η)A1－(e2+β)β22K0(β2η)A2(16)

由式(2)和式(5)，解得徑向總應力為：

σSTr=eiωt1+Vγσ(iλ)γ1+Vγε(iλ)γG21－vs1－2vsdUSηdη+2vs1－2vsUSηη－βP(17)

2 飽和粘彈性土隧洞殼體襯砌耦合振動

2.1 襯砌控制方程

穩態振動下襯砌的徑向凈荷載可表示為Q=Geiωt，其徑向位移為uLr=aULηeiωt。將襯砌視為殼體，根據無扭矩薄壁殼理論計算，得到襯砌無量綱后的控制方程為［14］

δ1－v21ULη－1λ2ULη=(18)

式中：定義δ=El/G為相對剛度；=h/a為無量綱厚度；1=ρL/ρ，ρL為襯砌密度。

2.2 軸對稱荷載下的邊界條件

劉干斌等［14］認為因襯砌厚度遠小于中曲面半徑r=a，將襯砌的中曲面等效為襯砌和土體的接觸面，得到了忽略h/2厚度的計算結果。本文在圖2中證明了這一結果。首先，假設襯砌和土體完全接觸，利用接觸面位移和應力協調以及考慮土體和襯砌的相對滲透特性，給出軸對稱荷載作用下的邊界條件［14］：

uLr=uSr， r=b

Q=q0－σSTr r=b

pr=κpb r=b(19)

其中：κ=klkslnb/c為襯砌和土體相對滲透系數；kl為襯砌滲透系數；當κ→0時，隧洞邊界不滲透，κ→∞時邊界自由滲透。

2.3 流體壓力下的邊界條件

流體壓力條件下接觸面位移和應力協調以及隧洞邊界部分透水的邊界條件為：

 uLr=uSr， r=b

Q=σSTr r=b

pr=κbp－qf r=b(20)

將式(15)—(17)分別代入邊界條件式(19)、(20)，可得到待定系數A1，A2，B1，B2表達式，進而得到軸對稱荷載或流體壓力作用下飽和分數導數粘彈性土體半封閉圓形隧道殼體襯砌系統耦合振動的頻域響應。

3 算例與圖形分析

為了考察分數導數階數、材料參數、相對剛度和襯砌滲透參數對徑向位移幅值U=［Re(USη)］2+［lm(USη)］2、孔隙水壓力幅值P=［Re(P)］2+［lm(P)］2的影響。依據劉干斌等［14］進行參數取值：

η=1.5，=20，β=0.95，=0.5

1=1.5，=10，vs=0.35，δ=100

=1.25，vl=0.25，=0.05，Vε=10

Vσ/Vε=3，γ=0.5，κ=0.1(21)

如圖2表示在η=1.5處經典粘彈性飽和土(γ=1)情形下有無h/2襯砌厚度對無量綱徑向位移幅值的影響。可見，考慮h/2襯砌厚度下，隧洞邊界軸對稱荷載時位移幅值的峰值略大于忽略h/2襯砌厚度情形下位移幅值的峰值，但是差異并不明顯，且隨著頻率λ的增加，2種情形下的結果幾乎相同。而在流體壓力作用下2種情形的位移幅值完全一樣，與劉干斌等［14］的結論一致。圖3為η=1.5處分數導數階數γ對位移幅值U的影響。軸對稱荷載作用下，當頻率λ<1.5時，隨著階數γ的增加，位移幅值U逐漸減小，共振效應隨之減弱。而當頻率λ>1.5時徑向位移幅值隨著階數γ的增加反而增大。圖4表示相對滲透系數κ改變時，徑向位移幅值U隨無量綱半徑η的影響。軸對稱荷載下，隨著相對滲透系數的增加，位移幅值U逐漸減小，并指出senjuntichai［22］中邊界透水κ→∞和不透水κ=0兩種極限狀態只是本文的特例。而材料參數比Vσ/Vε對徑向位移幅值U的影響與分數導數階數γ對位移幅值的影響有類似之處(圖5)。可見，隧洞邊界軸對稱荷載情形下位移幅值U遠大于流體壓力情形下的位移幅值U。圖6和圖7分別表示階數γ和材料參數比Vσ/Vε對孔壓幅值P的影響。軸對稱荷載情形下，當頻率λ=0時孔壓幅值P為零，并且隨著階數γ的增加而減小，經典粘彈性飽和土(γ=1)時，孔壓幅值達到最小值。流體壓力作用下，當頻率λ=0時孔壓幅值最大，而階數γ對孔壓幅值P的影響很小(圖6)。而材料參數比Vσ/Vε對孔壓幅值P的影響與階數γ對孔壓幅值P有相似之處。

4 結 論

利用分數導數模型描述土骨架的應力位移本構關系，在頻率域內得到了飽和分數導數粘彈性土體中半封閉隧洞內邊界分別在軸對稱荷載和流體壓力作用下位移、應力和孔壓的表達式。考察了分數導數階數、材料參數和相對滲透參數對飽和粘彈性土體彈性殼體襯砌系統響應的影響。得到以下結論：

1)軸對稱荷載情形下，分數導數階數γ對飽和粘彈性土半封閉圓形隧洞殼體襯砌系統動力響應的影響遠大于流體壓力條件下系統動力響應的影響。

2)通過圖形對比分析，有效地證明了將襯砌的中曲面等效為襯砌和土體的接觸面，得到忽略h/2厚度的計算結果是正確的，驗證了將襯砌視為薄壁殼體是可行的。

3)軸對稱荷載情形下土體和襯砌滲透系數對系統動力響應的影響與流體壓力情形下對系統響應的影響有明顯差異。當滲透系數κ=100時，邊界接近透水狀態。 4)軸對稱荷載下，系統響應存在明顯的共振效應。而流體壓力條件下不產生共振現象。

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（編輯 王秀玲）