黏土的一維非平行等效時間線流變模型

摘 要：在連續介質流變理論框架內研究了等效時間與流變速率之間的內在關系。當軟土的流變速率僅取決于應力和應變量時，在相同應力和應變狀態下簡單加荷歷史的黏土流變速率等于復雜加荷歷史的流變速率，故根據簡單加荷歷史反算而得的黏土流變速率可用于復雜加荷歷史的建模工作，在簡單加荷歷史下反算黏土流變速率所用的持續時間即是等效時間，在簡單加荷歷史簇中相同等效時間的應力應變關系線即為等效時間線。根據上述建模思路，獲得了軟土等效時間線不平行時流變速率與等效時間之間的關系， 建立了等效時間線不平行時黏土的一維流變模型，該流變模型可退化為等效時間線平行時的Yin-Graham一維流變模型。根據室內流變試驗確定了模型參數并驗證了模型的合理性。

關鍵詞：黏土；流變速率；非平行等效時間線；流變模型

中圖分類號：TU411.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-4764（2012）02-0032-07

A 1-D Nonparallel Equivalent-time-lines Rheological Model for Clay

HU Ya-yuana， b

（a. The Geotechnical Institutes of Zhejiang University; b. Key Laboratory of Soft soils and Geoenvironmental Engineering of

Ministry of Education， Zhejiang University， Hangzhou 310027， P.R.China）

Abstract:The relationship between equivalent time and rheological velocity is studied in the frame of viscous continuum theory. If rheological velocity is only determined by stress and strain， the rheological velocity in the simple loading history is equal to that in the complex loading history when they have the same stress and the same strain. Then the rheological velocity re-calculated in the simple loading history can be used to establish the model in the complex loading history. The lasting time used to re-calculate rheological velocity in the simple loading history is called the equivalent time， and the stress-strain relationship at the same equivalent time in the set of simple loading histories is called the equivalent time line. According to the above idea for formulating model， the relationship between equivalent time and rheological velocity is established for clay with nonparallel equivalent time lines， and a nonparallel equivalent-time-lines rheological model for clay is achieved. This model can be degenerated into Yin-Grahams 1-D rheological model when equivalent-time-lines are parallel to each other. The parameters of model are determined by trial data and the model is further verified to be valid from laboratory test for clay.

Key words:clay; rheological velocity; non-parallel equivalent-time-lines; rheological model



軟土的受荷變形特性研究是巖土工程領域的主要研究課題之一，許多巖土力學專家對此進行了深入分析［1-10］。張先偉和王常明［1］、薛新華和張我華［2］研究了軟土的結構損傷特性。Crawford根據壓縮流變試驗繪制了正常固結土不同歷時的e-lgp曲線［4］，Bjerrum建立了黏土流變的等時間線模型［5］；Lerouel等提出了一維等應變率模型［6］。Yin Graham［7］，Yin等［8］建立了一維等效時間線流變模型，即Yin-Graham彈黏塑性模型（Elastic visco-plastic model，簡稱 EVP model）。胡亞元依據超塑性理論（也稱巖土耗散本構理論）論證了Yin-Graham一維等效時間線模型本質上是準塑性的黏彈性模型［12］。余湘娟和殷宗澤整理黏土蠕變試驗結果后發現［13-14］，荷載對正常固結土的次固結系數有明顯影響，正常固結土不同等效時間線之間一般為不平行直線。然而，殷建華和Graham在建立一維等效時間線流變模型時，假定不同等效時間線為相互平行的直線［7-8］。顯然，殷建華和Graham一維等效時間線流變模型無法反映不平行等效時間線的流變性質，對于等效時間線不平行時的一維流變模型，據筆者所知，文獻還未報導，有必要對其進行研究。

筆者首先在連續介質流變理論框架下進一步分析殷建華和Graham所提出的等效時間的物理內涵，建立等效時間與不可逆流變速率之間的數學物理關系，揭示等效時間本構模型的建模思路是采用根據簡單加荷歷史求得的流變速率去建立能適應復雜加荷歷史的流變模型，從而把殷建華和Graham所提出的等效時間的物理內涵統一在連續介質流變理論的框架之內。然后根據等效時間線不平行時的性質以及等效時間與流變速率之間的關系獲得等效時間線不平行時流變速率的計算公式，進而獲得等效時間線不平行時黏土的一維流變微分本構方程。文后算例把非平行等效時間線流變本構模型在驟然施加恒載條件下所獲得的理論結果與室內試驗數據［13］進行了對比，結果表明兩者較吻合，說明本文的流變模型是合理的。

1 流變速率與等效時間之間的關系分析

建立等效時間流變模型，首先需要在連續介質的框架內確定流變速率與等效時間物理內涵的內在聯系。借鑒殷建華和Graham的研究成果，本文也采用彈簧和黏性均為非線性的Maxswell黏彈性力學元件來模擬黏土的一維流變性質［7］。Maxswell黏彈性力學元件圖為：

圖1 殷建華-Graham EVP模型的力學元件組合

根據圖1有：

ε=εe+εvp 即：=e+vp（1）

一維條件下彈性應變與應力的一般關系為：

εe=f(p)（2）

式中的p為有效應力，對于一維豎向壓縮情況其為豎向有效應力，對于一維等向壓縮情況其為有效應力張量的球應力。根據連續介質理論，一維條件下流變速率的一般形式可表示為

vp=g(p，ε)（3）

在本文中，加荷歷史指的是應力或應變隨時間增加或減少的不同加荷方式；加荷路徑指的是應力或應變在其空間中具體的變化跡線。式（3）表達式實際暗含了以下假定：“黏土的流變速率只與應變ε和應力p有關，而與到達該應變量ε和應力p的加荷歷史無關”。即對于不同的加荷歷史，到達特定應變量ε和應力p時的流變速率是一致的。這一性質告訴我們，在實際黏土力學試驗中，可以把從簡單加荷歷史中求得的流變速率規律用到復雜加荷歷史的建模工作中去。

對于巖土材料而言，由于其流變速率的本構關系較為復雜，因此根據巖土試驗直接測定流變速率隨應變量和有效應力的變化關系較為困難，而測定應變隨時間的變化規律則相對較為容易。因此在巖土試驗中一般先測定應變隨時間的變化規律，再根據應變隨時間的變化曲線反算流變速率。設巖土試驗中測定應變隨時間的變化曲線時選定的應力加荷歷史為：

p=Γ(s，t)（4）

式中的s為應力歷史選擇因子，對于一條具體的應力加荷歷史而言s值是恒定的；當s變化時，可以形成建模所需的其它應力加荷歷史。把式（4）代入到式（3）后再代入到式（1）得：

=e+vp=f(p)p·pt+g［ε，Γ(s，t)］=fp［Γ(s，t)］·Γt(s，t)+g［ε，Γ(s，t)］（5）

式（5）中函數對變量的偏微分函數采用了函數下標是其變量的標記方式來表示。顯然，對于一條具體的應力歷史s恒定，式（5）是一個一元微分方程，對于t=0時的初始應變值ε0=ε0(s)，根據一元微分方程理論可知式（5）必存在解，其形式可表示為［15］：

ε=Η［s，t，ε0(s)］（6）

式（6）表明，應變ε、應力歷史選擇因子s和時間t具有唯一關系。

現采用應變ε和應力p作為坐標構成一個面N(p，ε)，則由式（3）可知流變速率是N(p，ε)面上的一個函數。而由式（4）和式（6）又可知，當應力歷史選擇因子s和t=0時的初始應變值ε0=ε0(s)恒定時，根據式（4）所確定的應力p和根據式（6）所確定的應變ε組成的點(p，ε)在N(p，ε)面上形成了一條隨時間變化的曲線。當s變化時，該曲線在N(p，ε)面上也隨著發生移動，從而在N(p，ε)面的某個區域內形成一個面R(p，ε)。顯然有R(p，ε)N(p，ε)，把面R(p，ε)稱為應力應變關系面，簡稱本構面R(p，ε)。

從另一視角能更深入地理解本構面R(p，ε)在反算流變速率中所具有的重要作用。由式（4）可知，選擇不同的s可以形成不同的應力隨時間變化曲線即不同的應力加荷歷史，因此通過改變s可以形成一個應力歷史簇〈p〉，記為：〈p〉=〈p=Γ(s，t)，s∈可選擇域〉，根據該應力歷史簇〈p〉中的每一條具體的應力歷史，由式（6）可求得相應的應變歷史線，從而形成與應力歷史簇〈p〉相對應的應變隨時間的變化曲線簇〈ε〉，簡稱應變歷史簇〈ε〉，即：〈ε〉=［ε=Η［s，t，ε0(s)］，s∈可選擇域］。顯然，根據應力歷史簇〈p〉和與之相對應的應變歷史簇〈ε〉可構成一個坐標為(p，ε)的面，即為上文所簡稱的本構面R(p，ε)，現在我們來證明，當函數ε=Η［s，t，ε0(s)］和p=Γ(s，t)關于自變量s和t的Jacobian行列式的值不為零時，根據應力歷史簇〈p〉和應變歷史簇〈ε〉可以反推流變速率關系式式（3）。推導過程如下：

根據應變隨時間變化線簇ε=Η［s，t，ε0(s)］可得：

=Η［s，t，ε0(s)］t=Ηt［s，t，ε0(s)］（7）

根據應力歷史簇特性p=Γ(s，t)又有：

e=f(p)p·pt=fp(p)·Γt(s，t)（8）

根據式（1）有：

vp=－e=Ηt［s，t，ε0(s)］－fp(p)·Γt(s，t)（9）

同時，根據多元函數論可知，當函數ε=Η［s，t，ε0(s)］和p=Γ(s，t)關于自變量s和t的Jacobian行列式值不為零時，則存在唯一反函數Ω(ε，p)和Ξ(ε，p)［16］，使得：

s=Ω(ε，p)和t=Ξ(p，ε)（10）

把式（9）中的s和t用式（10）代替就可以求得式（3）。式（9）和式（10）表明，當應力歷史簇〈p〉和與之相對應的應變歷史簇〈ε〉構成的本構面R(p，ε)窮盡實際可能的一切本構點時，那么根據應力歷史簇〈p〉和與之相對應的應變歷史簇〈ε〉可求得實際需要的任意本構點的流變速率。

值得注意的是〈p〉雖然是一個應力歷史簇，但該應力歷史簇卻未包括所有的應力歷史。如黏土蠕變試驗常用的恒載簇〈p〉=〈p=s，s∈可選擇域〉，式中s一旦選定即為不隨時間變化的常數，它顯然無法包含類似p=s+at這樣的應力歷史的。不過，雖然力學試驗所選定的應力歷史簇〈p〉不能包含實際可能的其它應力歷史，但不同應力歷史間的流變速率與應力歷史無關，因此根據應力歷史簇〈p〉及其相應的應變歷史簇〈ε〉所求得的流變速率，卻可以用以建立適用于其它任何應力歷史的流變本構模型。因此可見，當根據土工試驗直接總結流變速率關系式式（3）存在困難時，可以采用應力歷史簇〈p〉和與其相應的由土工試驗測定的應變歷史簇〈ε〉反算流變速率并由此間接建立巖土的流變模型。

眾所周知，應變隨時間的變化規律與應力歷史密切相關，對流變模型而言與應力歷史無關的是流變速率而不是實際時間，因此應力和應變歷史簇中的時間t并不同于其他一般應力歷史的時間t，一般應力歷史的時間t與應力歷史簇間的時間t之間的關系只能通過流變速率式（3）建立聯系，而應力和應變歷史簇中的時間t的作用僅是計算流變速率式（3）。如果把應力歷史簇〈p〉和應變歷史簇〈ε〉中計算流變速率所用的時間和一般應力歷史條件下的持續時間均采用相同符號t來表示就會相互混淆。為區別這兩個時間，考慮到時間在應力歷史簇〈p〉和應變歷史簇〈ε〉中的作用是計算流變速率，同時也強調應力歷史簇〈p〉和應變歷史簇〈ε〉在計算流變速率時的重要性，在下文中，筆者把應力歷史簇〈p〉和應變歷史簇〈ε〉所涉及的時間t用大寫的Te來表示，并把Te稱為應力歷史簇〈p〉在初始時刻ε(Te=0)=ε0(s)下的等效時間，把初始時刻線ε(Te=0)=ε0(s)稱為參考等效時間線。如果等效時間的大小與所選擇的參考等效時間線無關，則把該等效時間稱為絕對等效時間，并把它記為T［12］。顯然，根據等效時間的定義，當實際應力歷史屬于應力歷史簇〈p〉和初始時刻線為參考等效時間線時，有

t=Te（11）

當〈p〉為恒載簇〈p=s，s∈可選擇域〉時；由于p=s，參考等效時間線表達式中的s用p替換后可寫為ε(Te=0)=ε0(p)，其式即為Yin-Graham一維EVP模型中壓縮線表達式ε=εepp0+(λ/υ)ln(p/p0)的推廣［4］；此時應變歷史簇〈ε〉也可用p表示為ε=Η［p，Te，ε0(p)］，它是Yin-Graham一維EVP模型中應力、應變和等效時間唯一關系表示式（見文獻［7］中的式（4））的推廣。由此可見，本文等效時間及其參考等效時間線的定義包含了殷建華和Graham對等效時間及其參考等效時間線的定義，殷建華和Graham流變模型中的等效時間及其參考等效時間線是本文的特殊形式。

2 恒載簇作用下黏土流變的不平行等效時間線體系

土工試驗常采用恒載簇〈p=s〉來研究黏土的流變特性，當s選擇不同數值時形成了不同恒載作用下的流變試驗。由于恒載簇中的應

力歷史滿足p=s，故下文為行文簡便直接用p來代替s。Crawford［4］和余湘娟等［13-14］根據土工實驗證明，黏土流變的等效時間線是相互不平行的直線。現在利用這一性質來推導函數ε=Η［p，Te，ε0(p)］的具體形式。

等效時間線不平行時的示意圖見圖2，把恒載作用下流變試驗中正常固結黏土蠕變變形時間為T0時的總應變隨應力變化線作為等效時間Te=0的參考等效時間線ε(Te=0)=ε0(p)，把p0作為參考應力，把p0在參考等效時間線上所對應的應變ε0作為參考應變，令：υ=1+et0為比容，et0為土體的初始孔隙比。根據圖2中Te=0時的參考等效時間壓縮線，A點的應變為：

ε=ε0+λ0υlnpp0（12）

式中的λ0為參考等效時間壓縮線上的壓縮系數。

圖2 黏土流變的等效時間線體系

根據恒載p0條件下的流變試驗，B點的應變為：

εB=ε0+ψ0υlnT0+TeT0（13）

式中的ψ0為參考應力p0條件下的蠕變系數。根據Te=0時的參考時間壓縮線和恒載p條件下的流變試驗， C點的應變為：

ε=εA+ψp(p)υlnT0+TeT0=ε0+λ0υlnpp0+ψp(p)υlnT0+TeT0（14a）

式中的ψp(p)為恒載p條件下的蠕變系數。另根據恒載p0條件下的流變試驗和等效時間Te壓縮線，C點的應變又有：

ε=ε0+λT(Te)υlnpp0+ψ0υlnT0+TeT0（14b）

式中的λT(Te)為等效時間Te壓縮線上的壓縮系數。根據應力、應變和等效時間具有唯一性的性質，式（14a）和式（14b）計算的應變應相等，由此得：

λ0－λT(Te)ln(T0+Te)－lnT0=ψ0－ψp(p)lnp－lnp0（15）

注意到λT是關于等效時間Te的函數而ψp是關于應力p的函數，因此式（15）中等式左邊僅是等效時間的函數，等式右邊僅是應力p的函數，故該等式只有左右是常數才有可能成立，令該常數為ζ，有:

λ0－λT(Te)ln(T0+Te)－lnT0=ψ0－ψp(p)lnp－lnp0=ζ（16）

式中的常數ζ反映了壓縮指數隨等效時間和蠕變系數隨應力的變化規律，由式（16）可得：

λT(Te)=λ0－ζlnT0+TeT0（17a）

ψp(p)=ψ0－ζlnpp0（17b）

把式（17a）代入到式（14b）或把式（17b）代入到式（14a）均可得：

ε=ε0+λ0υlnpp0+ψ0υlnT0+TeT0－

ζυlnpp0lnT0+TeT0（18）

在推導式（19）時并未對C點作任何限定，因此式（19）對于任意的應力p和等效時間Te均成立，故式（19）是ε=Η［p，Te，ε0(p)］當黏土等效時間線不平行時的具體函數表達式。注意到當應力歷史屬于應力歷史簇時式（11）成立，故根據式（9）由式（18）和式（11）得：

vp=dεvpdt=dεvpdTe=ψ0－ζln(p/p0)υ1T0+Te（19）

同時根據式（18）又可得：

T0+Te=T0expυ(ε－ε0)－λ0ln(p/p0)ψ0－ζln(p/p0)（20）

把式（19）代入到式（20）得：

vp=ψ0－ζln(p/p0)υT0·

expυε0－υε+λ0ln(p/p0)ψ0－ζln(p/p0)（21）

盡管式（21）是基于特定的應力歷史簇〈p〉獲得的，但根據式（3）流變速率vp只與應力p和應變ε有關而與應力歷史無關的性質，故它可以用于其它任意應力歷史所涉及的流變速率計算。

黏土的彈性應力應變關系可表示為：

εe=ε0+κυlnpp0（22）

式中的κ為回彈指數，由式（22）可得：

e=κυp（23）

把式（21）和式（23）代入式（1）有：

=e+vp=κυp+ψ0－ζln(p/p0)υT0·

expυε0－υε+λ0ln(p/p0)ψ0－ζln(p/p0)（24）

式（24）即是等效時間線不平行時的準塑性黏彈性本構方程。

根據物理意義可知，當ζ=0時非平行等效時間線退化為平行等效時間線。本文的本構方程將退化為Yin-Graham 一維流變模型。把ζ=0代入到式（24）得：

=κυp+ψ0υT0expυε0－υε+λ0ln(p/p0)ψ0=

κυp+ψ0υT0expυε0－υεψ0pp0λ0ψ0（25）

除采用不同的符號表示物理參數外，式（25）與Yin-Graham 一維流變模型相同，這說明推導是正確的。

與Yin-Graham 一維流變模型相類似［6］，如令：

T=T0+Te（26）

則式（13）—（18）中的T0+Te可用T來代替。式（18）是反映等效時間線ε=Η［p，Te，ε0(p)］的函數表達式，把式（18）中的T0+Te用T來代替后得：

ε=ε0+λ0υlnpp0+ψ0υlnTT0－ζυlnpp0lnTT0（27）

先把式（26）代入到式（17a）和式（17b）后，再根據式（27）、式（17a）和式（17b）得：

ε－λTυlnp－ψpυlnT=ε0－λ0υlnp0－ψ0υlnT0（28）

式（28）表明，任何一條等效時間線的T值大小與T0值的選擇無關［12，18］，即與選擇哪一條等效時間線為參考等效時間線無關，因此T為絕對等效時間。

在土工試驗室內常用孔隙比來代替應變量，故采用e=e0－υ(ε－ε0)把式（27）和（24）變換得：

e=e0－λ0lnpp0－ψ0lnTT0+ζlnpp0lnTT0（29）

=－κp－ψ0－ζln(p/p0)T0·

expe+λ0ln(p/p0)－e0ψ0－ζln(p/p0)（30）

設t=0時軟土的初始孔隙比為e=et0，初始有效應力為p=pt0。當土體驟然施加附加有效應力pf即當p=pt0驟然增加到pA=pt0+pf時，根據式（30）可求得孔隙比隨時間的變化曲線為：

e=et0－κlnpApt0－(ψ0－ζlnpApt0)lnTi+tTi（31）

式中：pA=pt0+pf（32a）

Ti=T0expe0－et0－λ0ln(pA/p0)+κln(pA/pt0)ψ0－ζln(pA/p0)（32b）

3 模型參數的確定及驗證

余湘娟等采用室內試驗研究了汕揭高速公路工程中軟土的壓縮流變特性［13］。根據其試驗數據［13］繪制的恒有效應力為100 kPa、200 kPa、400 kPa和1 200 kPa的應變隨時間變化曲線如圖3所示，他們發現軟土的蠕變系數與軟土壓力有關，軟土的等效時間線一般是不平行線。筆者將根據它們的試驗數據來確定模型參數；同時，當有效應力驟然加載到800 kPa和1 600 kPa時，其應變隨時間的變化曲線如圖6所示。筆者將用它們的試驗數據與根據式（31）計算的理論預測值相對比，以驗證本文本構模型的合理性。

根據圖3的試驗數據，圖4給出了不同等效時間的e-lgp曲線，從圖中可以看出，不同等效時間的e-lgp曲線是不平行的。這些e-lgp曲線的壓縮指數隨絕對等效時間的變化圖如圖5所示。根據本文第一節 “流變速率與等效時間之間的關系分析” 中的理論研究，建立流變速率與等效時間的定量關系時需要選擇一個參考等效時間線。理論上，任意一條等效時間線均可以作為參考時間線。但在土力學中，室內土工參數一般按照室內試驗歷時1.0 d來測定的，因此，本文選絕對等效時間T=1.0 d線為參考絕對等效時間T0線，故T0=1.0 d；同理，任何一個壓力均可以取為參考有效壓力，但鑒于在經典土力學中，根據100 kPa至200 kPa引起的孔隙比變化量來計算土體的壓縮系數，故本文選p0=100 kPa為參考有效應力，據圖3 e-lgt曲線可知p0=100 kPa時的蠕變系數為ψ0=0.013 87；根據試驗數據可得p0=100 kPa在參考絕對等效時間T0=1.0 d線所對應的參考孔隙比為e0=2.151，壓縮指數為λ0=0.373 7。根據圖5和式（17a）可知ζ=0.003 8，為閱讀方便，把上述模型參數列于表1。

根據表1參數和式（31）得到的理論計算結果與試驗數據對比圖如圖6所示，從圖6可以看出，試驗結果和理論預測值較為接近，說明該文建立的非平行等效時間線流變模型較合理地反映了軟土的流變特性。

圖6 驟然加載到800 kPa 和1 600 kPa時

試驗數據與理論預測值對比圖

從表1還可以看出，ζ=0.003 8。當等效時間歷時較短時，壓縮指數隨等效時間變化的影響較小，但由于民用建筑的設計年限為50 a，高速鐵路路基的設計年限為100 a，據式（17a）知在此期間軟土的壓縮指數數值減少了Δλ=0.038，約占λ0的10%，同時，當土壓力從p=100 kPa變化到p=1 200 kPa時，據式（17b）知蠕變系數減少了Δψ=0.009 5，約占ψ0的68%，說明當等效時間較長和土壓力變化較大時，一般不能忽略非平行等效時間線特性對壓縮指數特別是蠕變系數的影響。

值得指出的是，在等效時間線不平行的情況下，當選擇不同等效時間和不同有效壓力作為參考等效時間和參考有效壓力時，相應的ψ0、λ0和e0在數值上會發生變化，但這些ψ0、λ0和e0之間在數值上服從公式式（17a）、（17b）和式（18），故依據這些ψ0、λ0和e0建立的等效時間流變模型可以按照公式式（17a）、（17b）和式（18）相互轉化，故盡管它們的數值不同，但它們反映的等效時間流變性質是相同的，它們體現的是相同的等效時間流變模型。同時，與經典土力學一樣，在均質試樣中，試樣厚度對ψ0、λ0和e0的取值無影響。

4 結 論

從連續介質流變理論出發，研究了等效時間與流變速率之間的內在聯系，并建立了等效時間線不平行時黏土的一維準塑性的黏彈性模型，獲得了以下研究成果：

1）在非線性流變模型中，當流變速率只與應變量和應力有關時，可以把簡單加荷歷史獲得的流變速率用于復雜加荷歷史地建模工作。等效時間的物理內涵是簡單加荷歷史簇中反算流變速率所采用的持續時間。

2）利用等效時間的物理內涵，建立了黏土非平行等效時間線的一維流變模型。該模型能夠退化為等效時間線平行時的Yin-Graham一維流變模型。根據余湘娟等試驗數據確定了模型參數，并用與確定模型參數無關的另二組試驗數據對理論預測值進行了對比，試驗結果與理論預測值較為吻合，驗證了模型的合理性。

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（編輯 胡 玲）