基于條件風險價值(CVaR)的油氣勘探投資組合決策模型研究

王 眾，張哨楠,，匡建超，龐河清

(1.成都理工大學能源學院，四川 成都 610059； 2.西南西石油大學資源與環境學院，四川 成都 610500； 3.成都理工大學管理科學學院，四川 成都 610059)

油氣勘探屬于典型的“三高一長”(高投入，高風險，高收益，長周期)項目，作為石油公司的一項主要投資活動，如何從收益—風險的角度配置好有限資源，降低勘探風險，已成為石油公司面臨的艱巨任務[1]。為提高決策質量，理論界和石油公司也在不斷探索新的理論及方法，如：模擬仿真、多屬性效用決策、現代投資組合理論、實物期權等[2]。其中，盡管現代投資組合理論直到20世紀80年代才在石油工業中得到應用，但近年來隨著石油公司海外勘探機會日漸增多、勘探風險日趨增大，現代投資組合理論因其能有效分散投資風險，在一定程度上實現整體勘探投資收益—風險的均衡，受到越來越收多的關注與重視[3]。

目前，國外學者在油氣勘探投資組合領域進行了大量研究，如：Davidson(1995)[4]、Orman(1999)[5]、Fichter(2000)[6]、Erdogan(2001)[7]、Garcia(2003)[8]、Walls(2004)[2]等。盡管國內學者從20世紀末21世紀初才開始逐步開展該領域的研究，但仍取得了一定的研究成果，其中具有代表性的有：李玉蓉(2004)[9]、馬士忠(2006)[10]、郭秋麟(2007)[11]、王震(2008)[12]、殷愛貞(2010)[13]等。然而通過文獻回顧，筆者發現幾乎該領域所有的研究都是以Markowitz的均值—方差模型[14-15]為基礎，即運用收益的方差(或標準差)來度量勘探投資組合的風險。考慮到金融資產和油氣勘探項目的區別，筆者認為運用方差度量風險存在以下缺陷：首先，勘探項目的收益不一定服從正態分布，甚至還存在“高峰、肥尾”現象，方差很難捕捉潛在損失；其次，方差表示的是實際收益偏離平均收益的波動情況，不論高于還是低于平均收益，只要波動越大就認為風險越大，這明顯有悖于投資者對風險的真實心理感受；另外，方差只能表示收益波動的幅度，無法明確指出損失的大小。

20世紀90年代，風險價值(VaR)被提出用于代替方差來度量投資組合的風險，但其在使用過程中仍然存在不符合一致性風險度量方法要求、無法考慮尾部風險等缺陷[16]。隨著研究的進一步深入，學者又提出了VaR的修正方法——條件風險價值(CVaR)[16-17]。由于CVaR不僅具有VaR的優點，還具有次可加性、凸性等性質，并且可以通過線性規劃方法進行求解，則與均值—方差模型類似，CVaR也可用投資組合優化[18]。基于此，本文引入CVaR理論，構建了基于CVaR的勘探投組合決策模型。該模型運用CVaR度量勘探投資組合的風險，通過線性規劃求得各項目的最優投資比例，有效克服了方差在勘探項目風險度量上的缺陷，有助于決策者更好地了解勘探投資組合的潛在風險，使得投資決策過程更加科學，結果更加合理。

1 CVaR方法基本原理

設f(x,y):Rn×Rm→R表示一個投資組合的損失函數，x∈X為決策向量(X為投資組合x的可行集)；y∈Rm為隨機變量(如收益率等)，假定y的聯合概率密度為p(y)且連續，則當y的分布已知時，損失函數f(x,y)為依賴X的隨機變量，它不超過某一持有水平α的概率為：

(1)

假設置信水平為β(0≤β≤1)，則投資組合的VaR可表示為：

VaR=αβ(x)=min{α|ψ(x,α)≥β}

(2)

那么根據CVaR的定義——超過VaR損失的期望值，則投資組合的CVaR可以表示為：

CVaR=φβ(x)=E[f(x,y)≥VaR(x)]

(3)

由式(2)和式(3)可以看出，VaR只表示了單一的分位點，而CVaR則表示了尾部損失的平均值，考慮了大于VaR尾部的全部損失，因此用CVaR對風險進行度量更加充分。

由于CVaR里面包含VaR的函數，很難通過定義來直接計算和優化CVaR，Rockafellar和Uryasev(2000)通過定義輔助函數Fβ(x,α)將VaR和CVaR聯系起來[14]：

Fβ(x,α)

(4)

其中：

(5)

根據文獻[16]可知最小化CVaR的同時，也使得Fβ(x,α)最小化，即：

(6)

且當(x*,α*)為上述優化問題的最優解時，Fβ(x*,α*)為最優的CVaR，x*為最優的投資組合，而a*為相應的VaR。

由于通常情況難以通過解析法求得概率密度p(y)，在實際操作過程中一般運用情景模擬法來進行計算：假設隨機變量y在未來有m種變動情況，令每種情況下y的取值為yk(k=1,2,……,m)，則式(4)可用下式近似代替：

(7)

2 基于CVaR的勘探投資組合決策模型

2.1 模型假設

由于勘探項目(圈閉)屬于實物資產，同股票、債券等金融資產還存在一定區別，為了將CVaR理論更好的應用于油氣勘探的投資決策，同時使分析更具針對性，筆者對模型設定以下5個假設[2,12,19]：

1)假設所有備選項目都已經通過了技術經濟評價，認為其經濟上合理、技術上可行；且各項目的投資損益能夠根據歷史數據和模擬仿真得出。

2)假設石油企業的勘探開發資金均為自有資金，不考慮資金的籌集和融資成本。

3)假設一旦發現具有經濟價值的油氣圈閉，立即進行開發，忽略各種因素對項目開發造成的延緩；同時一旦進入開發階段，便會持續帶來收益(正的現金流)。

4)假設石油公司可以任意選擇各項目的投資比例，即各項目的投資比例可為0到100%中的任意數值。然而由于實際情況限制或合同規定，石油公司不能任意改變某一項目的投資額度。本文提出的決策模型僅僅是為了對勘探投資提供一種指導，改善投資組合。

5) 假設石油公司的決策者都是理性經濟人，即他們都是在投資風險一定的情況下追求利潤最大化，或者在利潤一定的情況下追求風險最小化。

2.2 模型構建

設有n個備選勘探項目，各勘探項目在總預算中所占的投資比例為xi(i=1,2,…,n)，則決策變量x=(x1,x2,…,xn)T；設勘探項目i的收益為yi，考慮到油氣勘探項目的高投入、高收益特性，為了更直觀的反映各項目的損益，本文運用投資回報率(Return of Investment, ROI)來表示yi，則隨機變量y=(ROI1,ROI2,…,ROIyn)。因為損失可以用負的收益來表示，則該勘探投資組合的損失函數可以表示為：

f(x,ROI)=-(x1ROI1+x2ROI2+…+xnROIn)=-xTROI

(8)

根據文獻[20]，油氣勘探項目的ROI可以通過式(9)求出：

(9)

式中：Po為原油價格(美元/桶)；CP為單位開采成本(美元/桶)；B0為原始地質儲量(桶)；Rf為地質成功率(%)；Re為采收率(%)；e為美元對人民幣匯率；T為稅費比例(%)；i為貼現率(%)；I為勘探開發投資(元)；n為項目開采年限(年)。

2.2.1 目標函數的建立

對于投資組合優化模型而言，可以在風險水平一定的條件下使收益最大化，也可以在收益水平一定的條件下使風險最小化。考慮到油氣勘探項目的高風險特性，本文將一定收益水平下的CVaR最小化作為投資組合模型的目標函數。將式(10)帶入式(9)，則勘探項目投資組合的CVaR可以表示為：

(10)

式中：m是所取歷史數據或模擬樣本的個數，ROIk表示各個勘探項目的第k(k=1,2,…,m)個歷史(或模擬)投資收益率：

(11)

(12)

則該投資組合模型的目標函數為：

(13)

2.2.2 約束條件的建立

由于目標函數推導過程中引入了中間變量Zk，則組合優化模型的第一個約束條件為：

zk≥-xTROIk-α≥0

(14)

風險最小化是基于一定收益水平條件下的，則第二個約束條件為預期收益約束：

(15)

同其他投資項目相比，油氣勘探項目除了對投資收益有要求，對提交的儲量也有一定要求，則第三個約束條件為數量約束：

(16)

式中：Bi為勘探項目i的地質儲量；B0為勘探組合的最低提交儲量。

此外，石油公司的資源也是有限的，則第四個約束條件為資本約束：

(17)

式中：Ii為勘探項目i的勘探開發總投資；C0為勘探組合的最大預算資本。

綜上，根據式(13)～(17)，油氣勘探的投資組合決策模型可以表示為：

(18)

3 算例分析

為了檢驗模型的實際應用效果，筆者以文獻[9]的數據為基礎，挑選了5個勘探項目(表1)，運用CVaR投資組合模型對其投資決策進行分析。計算結果科學、合理，符合客觀實際。

表1 勘探備選項目基本數據

3.1 ROI模擬

油氣勘探是一個復雜的系統工程，涉及的風險因素多而復雜，因此勘探項目的ROI也具有較高的不確定性[21]。本文運用Monte Carlo模擬來計算各勘探項目的ROIk，為簡化計算，筆者僅將油價、采收率和單位開采成本作為隨機變量，分別反映項目的經濟及政治風險、技術風險和財務風險；而根據文獻[9]，地質風險通過地質成功率來反映。

假設各項目開采時間均為10年(n=10)，油價服從三角分布(考慮到未來油價難以準確預測，筆者運用2001～2010年10年間的油價來代替，分布參數見圖1)，采收率和單位開采成本服從隨機分布(分布區間見表1)，美元對人民幣匯率為1∶6.5，貼現率i=15%。則根據式(9)，經過200次(m=200)模擬得出各項目的ROIk(圖2)。為了更直觀的反映各項目的基本情況，筆者對表1和圖2的信息進行了進一步整理，見表2。

圖1 2001～2010年油價變動圖

圖2 各勘探項目的ROI模擬值

表2 勘探備選項目統計數據

3.2 模型求解

假定石油公司要求最低期望收益率不低于0.21，提交儲量不少于85萬t，勘探開發總預算9000萬元，置信水平β=0.95。根據式(18)，筆者通過Matlab編程計算得到上述約束條件下的最優投資組合x*=(0 0 0.6320 0.0717 0.2963)T，即總預算的63.20%分配給S21，總預算的7.17%分配給YY2，總預算的29.63%分配給YY1。該投資組合相應的VaR和CVaR分別為-0.0905和-0.0657，由于損失是負的收益，則按上述投資比例，在95%的置信水平下，占總投資9.05%的收益不會有損失風險，而超過最小收益的平均收益為投資總額的6.57%。

3.3 模型分析與比較

為了對CVaR投資組合模型有更深入的了解，筆者對模型進行了進一步的探討和分析。

3.3.1 預期收益和置信水平對投資組合的影響

首先固定β=0.95，觀察R0變動對投資組合的影響；然后固定R0=0.15，觀察β變動對投資組合變化的影響(表3)。從表3我們可以發現：①同一置信水平下，投資組合的VaR和CVaR隨著預期收益的增加而增加，表明收益越高風險越大；②同一收益水平下，投資組合的VaR和CVaR隨置信水平的上升而增加，表明隨著β值的增大，風險發生的可能性減小，但一旦發生損失將很嚴重；③同一投資組合，CVaR總是大于VaR，表明在風險度量上CVaR方法更趨保守，更能體現超過VaR的潛在損失；④不論是預期收益還是置信水平的變動都會引起項目投資比例的變化，表明收益水平和置信水平的選取對投資決策有很大影響。

表3 不同預期收益率和不同置信水平條件下的組合優化結果

為了更直觀的反映R0和β對投資組合CVaR的影響，筆者分別作出了β=0.90、β=0.95、β=0.99三個置信水平下的CVaR有效前沿(圖3)。從圖中可以看到同一置信水平條件下，CVaR隨著收益的增加而增加；隨著置信水平的增大，同一預期收益下的CVaR值也不斷增大，相應的有效前沿也隨之右移。

3.3.2 約束條件對投資組合的影響

筆者在式(18)的基礎上逐漸放寬約束條件，即比較了在β=0.95條件下，不同約束條件下投組合的變動情況(表4)。從表4中可以發現，在僅有預期收益約束(R0≥2.1)的條件下，組合優化模型將投資分配給了期望收益率最大的三個項目，且項目的期望收益率越大，分配投資比例越大；隨著儲量約束條件(B0≥85)的加入，為滿足儲量約束，盡管YY2的期望收益最低，還是增大了其投資比例；隨著資金約束條件(C0≤9000)的加入，由于YY2和YY1的勘探投資較大，它們的投資比例都有所下降，但由于YY2承擔了滿足儲量約束的任務，其投資比例下降幅度(7.8%)小于YY1的投資比例下降幅度(12.8%)。此外，隨著約束條件的不斷增加，S21的投資比例逐漸增加，而其余項目的投資比例逐漸降低，CVaR值也不斷增加。表明約束條件越多，風險就越不容易分散，投資組合的風險也就越高。

為更直觀的反映約束條件對投資組合CVaR的影響，筆者分別作出了不同約束條件下(β=0.95)的CVaR有效前沿(圖4)。從圖中我們可以看到，隨著約束條件的增加，同一R0所對應的CVaR值也逐漸增大，有效前沿也隨之右移。在圖中，有兩個約束條件的CVaR有效前沿同有三個約束條件的CVaR有效前沿部分重疊，表明當R0≥2.16時，新增加的約束條件未起到約束作用。

3.3.3 CVaR投資組合模型與均值-方差模型的比較

為進一步體現CVaR投資組合模型的優點，筆者將該模型同傳統的均值—方差模型進行了比較。首先根據文獻[12]，在同等約束條件下(R0≥2.1、B0≥85、C0≤9000)構建均值-方差模型，并作出其有效前沿(圖5)。

文獻[22]指出當指標的偏度(Skewness)絕對值(2、峰度(Kurtosis)絕對值(5時，可認為該組數據基本上服從正態分布)。則根據表2可認為本例中各項目的ROIk基本服從正態分布，那么投資組合的CVaR可以用下式計算[23]：

(19)

式中：Φ(·)為標準正態分布；φ(·)為標準正態分布的密度函數；σP和RP分別為投資組合的標準差和收益率(圖5)。則根據圖2和式(19)，筆者比較了兩個模型各自得出的最優投資比例及相應的CVaR值(表5)。從表5中我們可以發現，當R0=0.15時，均值-方差模型和CVaR模型的結果差別較大，前者將資金分配給了標準差較小的項目，而后者則是將在資金分配給了收益較大的項目；當R0=0.22時，兩者求出的投資組合差別較小。但在以上兩個收益條件下，CVaR模型求出的CVaR更小，表明CVaR模型求出的投資組合風險更小。

為了更清楚的比較，筆者分別作出了兩個模型放在均值-CVaR系統中，作出了兩者的有效前沿(圖6)。從圖6中我們可以看出：在收益相同的情況下，采用CVaR模型求出的最優組合的 CVaR 比其均值-方差模型求得的CVaR要小；此外，當R0≤2.2時，均值-方差模型的有效前沿同一般理論相悖的(收益越小，風險反而增大)。這充分表明在勘探項目的投資組合決策中，CVaR模型要優于傳統的均值-方差模型。

表4 約束條件下的投組合優化結果

表5 均值-方差模型和CVaR投資組合模型的比較

圖3 不同置信水平下的CVaR有效前沿

圖4 不同約束條件下的CVaR有效前沿

圖5 均值-方差模型的有效前沿

圖6 均值-方差模型和CVaR模型的有效前沿對比

4 結語

近年來，著石油公司海外勘探機會日漸增多、勘探風險日趨增大，如何有效分散投資風險，擴大投資效益，從收益-風險的角度做出科學的投資決策已成為石油公司決策層面臨的艱巨任務和亟待解決的難題。本文以現代投資組合理論為基礎，引入條件風險價值(CVaR)相關理論和方法，構建了基于CVaR的油氣勘探投資組合決策模型。該模型運用CVaR度量勘探投資組合的風險，通過線性規劃求得各項目的最優投資比例，不僅繼承了傳統均值-方差模型分散投資風險的優點，同時也有效克服了方差在勘探項目風險度量上的缺陷，有助于決策者更好地了解勘探投資組合的潛在風險，使得投資決策過程更加科學，結果更加合理。

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