基于GARCH族模型的VaR與CVaR值的實證與應用

陶 偉

（阜陽師范學院 經濟與商業學院，安徽 阜陽 236000）

0 引言

眾所周知，如果不能對風險進行測量準確，往往會導致風險管理策略失效。如何構建合適的模型，并以恰當的方法來對測量風險是當前金融研究領域的一個熱點課題。1999年學者Arznereta.l提出了相容風險度量,同時,De lbaen亦指出了是不相容的；而Palmqu ist與B asak等人已成功構造出投資組合的模型并通過實證分析,證明了相對可得到更為合理的結果,而則存在誤導投資者錯誤選擇高風險的可能,對比,更能夠捕捉極端市場條件下市場因子劇烈波動所產生的風險。因此Acerbi(2001)和Stefan(2001)提出用代替作為金融風險的管理工具,的相容性使其成為更加完善的風險管理工具。VaR法和CVaR法作為當前業內較為流行方法，具有簡單易懂的特點，而且相對于方差來說，將投資人的損失作為風險更為合理。本文以港交所H股指數期貨的收盤價格數據作為實證載體，研究在正態分布、T分布和廣義誤差分布下GARCH、EGARCH及PARCH模型的VaR值和CVaR值，分別比較出各個模型的優劣。

1 VaR和CVaR的構建模型

1.1 VaR的定義

VaR是資產在確定的目標時段和置信水平下預期的最大資產損失(或者是在最糟糕的情況下的資產損失)。其表達式為：

式中：C為置信水平；ΔP為持有期內的資產損失；VaR為在置信水平C的情況下，資產在風險中的所擁有的價值。因此，從該式中我們不難看出，要計算VaR，需要三個條件，即：

確定一個適合的置信水平C；

分析清楚資產的收益分布情況；

確定一個合適的資產持有期。

現假定資產的收益率服從正態分布N(μ，σ2)，就可得到一般求解VaR的方差協方差模型，即：

其中，ω0為初期的資產；Δt為持有期。由于目前已有大量的實證表明，我國的證券股票收益率不是按照正態分布的，因此，研究人員采用了多種尖峰厚尾的分布來模擬計算VaR，如采用t分布，混合正態分布，GED分布和Laplace分布等。

1.2 CVaR的理論及特征

CVaR指的是損失超過VaR值的均值，亦稱為期望損失。也就是說，對于、給定的vaR值，CVaR表示為損失大于該值條件下期望的損失，假設X表示為資產的損失，若其中X＞0，則資產出現損失，計算出的CVaR值，是大于VaR的一系列極端值的所取的平均值，則CVaR的可表達為：

由上式可得，CVaR實際上是相對于VaR的一個條件期望值。CVaR優于VaR，主要在于兩點：

與VaR不同，CVaR表示的是一個尾部損失的期望值，而不是一個簡單的分位點，因此，要計算CVaR，必須把所有大于VaR的損失值都考慮到，所有說CVaR能充分的度量對尾部的損失。其次，研究人員通過各種不同的方式證明CVaR是滿足次可加性，即對于兩個不同的資產A、B，式（4）總能得到滿足：

由（4）式可看出，CVaR是一種一致性的風險統計量。另外，不難發現，CvaR是凸性的風險統計量，通過優化，可以找出基于CVaR投資組合存在的最小風險的解，而VaR并不是凸性的風險統計量，因此無法找到最優解。

2.3 VaR和CVaR的構建模型

全球風險管理協會定義風險值VaR為一個持有期內金融資產出現的最大損失，若我們預先設定一個值，則實際損失超過VaR的概率小于該設定的值。在確定的某個置信水平下和損益概率分布條件下，可用某個數字來表達整個分布情況，而損益水平x將不會超過這個值。VaR表示的是一個損失的值，通常取其絕對值，若分布是離散的話，則VaR就至少是使得右尾概率最小的損失值，可表達為：

由于VaR實際上只是個簡單的數值，因此，VaR值測量方法雖然較為簡單，但卻忽視了可能存在的各種不同分布情況。為了得到精確的風險預測結果，研究人員采用條件VaR測量法，計算損失在高出VaR值這個條件下的平均值，即CVaR。

由于CVaR表達的是給定的置信水平下最大損失的期望值，故CVaR大于VaR。相對于VaR來說，CVaR對損益分布的度量更為準確，尤其是在影響損益分布的因素不對稱時，CVaR能更精確全面的表達其分布特征。優化投資組合時，若CVaR降低了，則VaR亦會跟著降低，反之則不然。

在通過統計數據，并計算出VaR和CVaR值后，為驗證其結果的準確性，需對其作出相應的檢驗，即進行后驗測試，也就是在給定的置信水平C下，將實際的損失高于VaR值的比例P’與期望比例P進行對比，并得出一個失敗率來評估VaR模型的優劣。

假設測量出現失敗的天數為N，測量天數總計為M，則失敗天數N與總計天數M的比值為p’=N/M，假設P’服從伯努利分布，即B～(M，P’)。則可進行如下檢驗：

原假設H：P=P’；備選假設：H1≠P’。對于原假設，本文采用似然比率檢驗法，其統計量可表達為：

由（6）式可知，該統計量LR是服從χ2分布，其自由度為1，通過查表得知：

而對于CVaR值的檢驗，重點度量的是損失超過VaR的值與CVaR值之差的大小，先采用的目前較為常用的絕對額指標DLC，來表示二者平均數之差的絕對值，其檢驗如下：

其中X為大于VaR值的實際損失(X＞0表示虧損)，且DLC值越小，則模型效果越好。

2 VaR與CVaR模型對H股指數期貨風險度量的實證

本文以H股股指期貨收益為例，采用族模型其波動情況進行研究。

2.1 GARCH族模型

2.1.1 GARCH(p，q)模型

由于利率、匯率、金融資產等資產收益率的方差波動序列，通常都沒有恒定的方差和均值，而是隨時都在變化，有較為明顯的集聚性，而資產持有者最看重的是持有期內收益的波動，因此，對風險進行預測和評估顯得尤為重要。在模型中具體包括：

GARCH(1，1)中，p=1，q=1，即：

公式（9），（10），（11）中，對于GARCH(1，1)模型，α+β＜1。ω是常數項，rt是收益率，σt損失條件標準差，at是殘差，αi與βj是各期參數，q和p分別是ARCH項和GARCH項最大的滯后階數。

2.1.2 EGARCH(p，q)模型

在市場上，利好信息對波動性的影響遠小于利空信息對其的沖擊，這是資產價格的一個重要特征，而對于大多數股票來說，未來波動與當前收益之間有著較強的負相關性。為了在模型中體現出影響不對稱的現象，提出了EGARCH模型，該模型不需要非負限制，其表達式為：

2.1.3 PARCH(p，q)模型

PARCH模型是一種標準離差的模型，它將殘差的絕對值帶入模型，其公式為：

式中δ＞0；γ為非對稱效應參數，若i＞r時，γi=0，r＜q；若i=1，2，L，r時，|γi|＜＜1。

2.2 計算不同的GARCH族模型殘差分布下VaR和CVaR值

2.2.1 收益殘差的分布假設

由于股票的收益率遭受重大獲利或重大損失的概率較高，因此，不能單一的將其看做服從正態分布，故用廣義誤差分布和T分布和來反映更為合理，T分布概率密度函數如下：

2.2.2 不同收益殘差分布下VaR和CVaR值的計算

本文利用參數法，計算VaR值如下：

式中：pt-1表示資產的上一期所擁有的價值；σt表示利用GARCH族模型計算，得出的該期條件方差的標準差，；zc表示相應置信水平C下的分位數，取單尾，其取值受分布的影響；t表示資產的該持有期。

CVaR表示為條件的期望值，其計算式如下：

2.3 VaR與CVaR模型對H股指數期貨風險度量的實證研究

2.3.1 檢驗正態性

通過H股指數期貨的線性圖，觀察其日收益率可知：其收益率的波動通常無大幅波動，較為平緩。但是聚類現象有所體現，即收益率異常值出現的頻率比較高，且集中出現在一個特定的時期。對H股指數期貨日收益率進行正態檢驗，發現其有厚尾尖峰的特征，再加上其JB的統計量為，故不呈正態分布。

2.3.2 平穩性的檢驗

通過數據統計，得出在選定期間內，H股指期貨收益率的ADF值為-36.5393，而當顯著性水平取1%時，得Mackinnon的臨界值僅為-2.232514，由于前者明顯小于后者，故不采用單位根假設，即認為該段H股指期貨的收益率序列為平穩的。另外，通過對其收益率進行自相關性檢驗，當檢驗到第七階時，發現其自相關性較為明顯，顯著水平為0.061，在進一步嘗試另外的滯后階數后，得出收益率rt的均值方程用rt=b0+b1rt-7+at較為合理，其中at表示殘差。

2.3.3 檢驗殘差的自相關性和ARCH-LM

對均值方程進行擬和，并對殘差及其平方進行自相關性檢驗，得出收益率殘差at的自相關性并不顯著，而殘差平方的自相關性卻較為顯著。

其中以殘差平方的波動呈現出的相關性最為明顯，當出現一個較大的幅度波動后，通常都伴隨著另一個較大幅度的波動，而在經歷一個較小幅度的波動后，也同樣會伴隨著另一個較小幅度的波動，表現出較為明顯的集簇性和時間可變性，因此，適合采用族模型來對H股指期貨的收益率進行建模。另外，通過對殘差at項的ARCH-LM繼續檢驗，得出在LM和F統計量的顯著水平處，都對無異方差的原假設拒絕，也就是說，殘差中ARCH效應較為顯著。更一步說明了用GARCH族模型建模較為適合。

2.4 利用參數估計計算VaR與CVaR值

2.4.1 殘差服從正態分布

表1為三種模型的不同參數在殘差服從正態分布情況下的估計值，在95%的置信水平下顯著。用異方差效應檢驗各模型估計后的殘差，其結果表明三個模型均無顯著的異方差現象，說明該模型能較好的反映出股市對數收益率序列的異方差現象。

表1 各模型在正態分布下的參數估計

在正態假定下，取置信水平為95%時，利用公式VaRt=pt-1σtzc，計算得出表2。其中失敗天數表示為實際損失高于VaR值的天數，而失敗率為失敗天數與總天數的比值,實際損失為△Pt=|Pt-Pt-1|，其中Pt表示H股股指期貨日收盤價。

各個模型計算出的值的變異系數及返回失敗率如下：

失敗率NORM-EGARCH＜失敗率NORM-PARCH＜失敗率NORM-GARCH

由上面結果可以看出：三個模型估計相差不大，且失敗率在5%左右，均小于3.841，其中以GARCH模型估計的失敗率最大，PARCH模型居中，而EGARCH模型對VaR值估計偏高，故其失敗率最小。由于在顯著水平為95%，對LR統計量檢驗過程中，無法拒絕其零假設，故利用這三個模型計算出VaR值均較為準確。但根據綜合變異系數的評價，EGARCH模型預測效果最差，GARCH模型預測效果其次，而PARCH模型預測效果最優。

表2 各模型在正態分布下VaR值和CVaR值的測量結果

另一方面，對于CVaR的計算結果：VaR的標準差與均值均小于CVaR，失敗率也大于CVaR，由于CVaR值在置信水平為95%時下的條件分位數為2.0515648，大于分位數1.6984，再加上CVaR表示損失大于給定的VaR值條件下的期望損失，故由計算結果得出：

根據DLC統計量，在VaR估計失效時，CVaR值與均值比較接近，故對CVaR估計的損失仍較為準確的。表明CVaR值在正態分布下DLC統計量數值較小，對風險的估計效果較準確；另一方面，EGARCH模型也存在缺陷，該模型計算的CVaR值變異系數和估計的風險均較大，故可能會導致成本上升。

2.4.2 殘差服從T分布

通過Eview5.0軟件，得出的T分布的自由度參數d，并使用@qtdist(Zc，d)命令，可得出條件分位數和分位數如下：

表3 各模型在T分布下地估計參數

同樣也可得出在T分布模型下VaR的估計值，取顯著水平為95%，則三個模型的LR統計量均大于3.841，故拒絕零假設，即三個模型的估計效果都較差，相對而言，T分布下EGARCH模型的效果最差，GARCH模型的效果居中，PARCH模型的效果較好。具體為：

失敗率T-EGARCH＜失敗率T-PARCH＜失敗率TGARCH

CVaR值在不同模型下的測量結果比較：

表4 T分布下各模型VaR值和CVaR值的測量結果

2.4.3 殘差服從GED分布

利用軟件Mathematica，得出GED分布下的估計結果，見表5：

表5 GED分布下各模型內參數的估計結果

表6 GED分布下各模型VaR值和CVaR值的測量結果

由表6可知：

失敗率GED-PARCH＜失敗率GED-EGARCH＜失敗率GED-GARCH

在顯著水平為95%時，經過綜合比較，雖然各模型的LR統計量都能通過返回檢驗，但效果還是有一定的差別，其中EGARCH模型的VaR值波動較大，故效果較差，GARCH模型的效果居中，PARCH模型失敗率較低，效果最為穩定。

三個模型計算得CVaR值結果比較如下：

利用PARCH模型得出的CVaR值，在T分布與正態分布下得出的DLC值明顯大于CED分布下的DLC返回檢驗值，故PARCH模型更適合估計GED分布。

3 結束語

本文分別在正態分布、T分布、GED分布下，利用GARCH族模型分別對H股指數期貨收益率各日的VaR值進行計算，結果表明：在T分布下，三種模型均未通過檢驗；但在正態分布和GED分布下，三種模型的測量結果均通過了檢驗。本文進一步利用GARCH族模型分別在三種分布下計算CVaR值，其結果表明：在VaR值效果欠佳的時候，使用CVaR值仍然能夠比較準確的度量這些極端損失，對CVaR值的測量效果最佳的是基于GED分布的PARCH模型。

綜上，基于GED分布的PARCH模型在計算VaR與CVaR值都是最優的。希望這個結論對預測未來我國滬深300股指期貨受益波動風險方面有所幫助。

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