巖石非線性黏彈性蠕變特性的時溫等效效應

朱元廣，劉泉聲，張程遠，時 凱

（中國科學院武漢巖土力學研究所 巖土力學與工程國家重點實驗室，武漢 430071）

1 引 言

巖石流變力學研究的目的是，在全面反映巖體流變本構屬性的基礎上，通過試驗分析和數值解析計算，求得巖體內隨時間增長發展的應力、應變及其作用時間歷程，為流變巖體的穩定性做出符合工程實際的正確評價[1]。一般的，可通過短時間尺度內獲得的流變測試數據及其數學模型來預測巖體工程的長期穩定性，在此過程中，獲得準確的流變測試數據是所有研究工作的基礎。然而，在試驗研究中發現巖石的流變力學特性顯現與試驗的時間尺度密切相關[2－4]，即巖石在短時間內獲得的測試數據并不一定能夠完全反映其在長時間尺度下的流變力學特性。為此，劉泉聲等[5－8]基于聚合物材料研究中的時溫疊加思想[9－12]，提出利用時溫等效效應來研究巖石在長時間尺度下的流變力學特性。這種等效效應在力學上表現為：巖石在低溫、長時間尺度條件下的流變力學特性與其在高溫、短時間尺度條件下的流變力學特性等效；在數學上表現為：溫度的上升等于時間對數的平移。因而，采用在試驗過程中提高巖石樣品溫度的方法，可以獲得巖石在相對較低溫度下長期的流變測試數據。

然而，從材料科學研究的角度來看，巖石屬于典型的非線性材料，也就是說并不能僅通過某一荷載下的流變力學特性去外推其他任意荷載下的流變力學特性。對于巖體工程而言，如果應力或應變足夠小，巖石的力學行為可以通過成熟的黏彈性理論來描述。然而，這個線性范圍相對于巖石屈服或斷裂之前可獲得的整個范圍是很小的。如果考慮到巖體工程的長時間尺度的穩定性分析，在應力或是應變分析中就必須要考慮到巖石應力-應變關系的非線性特性，因此，討論巖石在非線性條件下流變特性的時溫等效效應顯得尤為重要。

巖石非線性流變力學特性的理論研究有很多種不同的方法，大致可以分為半經驗方法、分子理論的處理方法、嚴格的演繹方法[13]。其中，分子理論的處理方法和嚴格演繹的方法由于在數學和試驗上的巨大復雜性，在巖石的流變力學特性研究中采用的相對較少，而半經驗方法是試驗經驗公式和某種理論分析的結合基礎上建立的表達巖石非線性性質的公式，兼顧了理論的嚴謹性和經驗的簡化性，得到了廣泛的使用。

本文將基于Schapery單積分型的非線性本構方程，推導巖石非線性黏彈性下時溫等效效應的數學表示。通過對不同應力及溫度下花崗巖的蠕變試驗數據分析，研究花崗巖非線性黏彈性的時溫等效效應。

2 單軸荷載下的本構方程

作為參照，首先闡述在單軸荷載作用下巖石線黏彈性本構方程的一般形式。

2.1 線性方程[13]

在 0t= 時刻作用一個常應力，應變與應力的關系可以通過時間的函數來表示，即

式中： ( )J t 稱為蠕變柔量，一般隨著時間的增長而增加。在試驗測試中一般寫成下面等效的形式：

式中： J0為初始蠕變柔量； ΔJ (t ) = J (t )- J0表示蠕變柔量轉變的部分。

類似地，在常應變條件下松弛測試的松弛模量可以表示為

或寫成等效形式：

式中： E ( t )為松弛模量，一般隨著時間的增長而減小；E∞為松弛模量的最終值或平衡值； ΔE (t )= E ( t )- E∞，為松弛模量的轉變部分。

當已知 ( )J t 時，可以根據Boltzmann 疊加原理計算在任意應力條件下的應變響應：

通過將 0 ( )Hσ σ τ= 帶入蠕變方程式（5）可以得到式（2）的表示形式，其中，0σ 為常數， ( )H τ為階躍函數，有下面的數學形式：

類似地，可以根據松弛數據計算任意應變下的應力響應：

在線性范圍內，巖石的黏彈性力學行為可以通過式（5）、（7）中的任意一個來表示，因為式（5）、（7）是可以相互轉化的。通過試驗測試和式（1）、（3），可以很容易地得到巖石的黏彈性函數。因而惟一的決定因素就是哪種試驗方法是容易可行的。下面會看到，由于非線性材料包含了額外的力學性質，上述結論對非線性材料并不是絕對的正確。

2.2 非線性方程

在巖石非線性流變力學特性本構關系的研究中，單積分型由于其形式簡單、便于試驗研究和較易求出特性函數、有利于解決實際問題等優點，得到了廣泛的發展和應用。即便如此，單積分型本構表示的名目也有很多，如BKZ 理論、有限線黏彈性理論、修正疊加法、Schapery 本構關系等等。本文的研究將基于Schapery[14]的非線性黏彈性的本構方程的表示形式。

Schapery[14]基于不可逆熱力學，在假設了一種簡單形式的Gibbs 自由能及熵升率公式后，導出了下面的本構方程：

式中：0J 和 JΔ 為前面定義的線黏彈性蠕變柔量的兩個組成部分；ψ 和ψ′為減縮時間變量，由下式定義：

g0、 g1、 g2、aσ均為應力的函數，表示材料應力-應變之間的非線性特性。比較式（5）、（8）可以看出，當應力足夠小(σ → 0)使得材料處于線性范圍內時，有 g0= g1= g2= aσ= 1。而且，這些應力相關特性有著特殊的熱力學意義， g0、 g1、 g2與外加應力的關系取決于Gibbs 自由能函數中三階以上項，aσ則受到熵和自由能中高階項的影響，同時還受溫度的影響。

按照相同的思路，可以寫出下面的非線性松弛型本構方程：

式中：ρ 和ρ′為減縮時間變量，由下式定義：

aε、h∞、1h 、2h 與應變的關系取決于Helmhotze自由能函數中三階以上項，aε還受到熵以及自由能中高階項的影響，同時還受溫度的影響。

將常應力0( )Hσ σ τ= 帶入到蠕變型本構方程式（8），并利用式（9），可以得到蠕變柔量J 的表示形式：

同樣，將 0 ( )Hε ε τ= 帶入到松弛型本構方程式（10），并利用式（11），可以得到松弛模量E 的表示形式：

很顯然，式（12）和（13）之間一般是不能夠相互轉化的，因為引入了非線性的材料特性。因而，在非線性范圍內，巖石的黏彈性函數需要單獨的測試獲得。

滿足式（12）巖石的非線性測試數據已有很 多[15－16]。如果 g0= g1= aσ= 1，那么式（12）簡化為修正Boltzmann 疊加原理的表示形式。在2.2 節中筆者曾提到0J 和 JΔ 是前面定義的線黏彈性的蠕變柔量的兩個組成部分。因而，從數學的角度來看，Schapery 的非線性表示方法只是在線黏彈性本構方程的基礎上引入了表示應力-應變非線性關系的非線性系數。

3 非線性黏彈性的時溫等效

基于上述的非線性理論，討論非線性條件下巖石黏彈性特性時溫等效效應的數學表示。考慮到非線性條件下巖石蠕變和松弛特性函數的數學表示在形式上是類似的，本文只選取目前研究最為廣泛的蠕變特性作為討論的對象。

在線黏彈性時溫等效理論的研究中[7]，對于具有時溫等效效應的巖石，有下面的關系成立：

式中： Tref、T 分別為參考溫度和其他的任意溫度，一般認為， Tref＞ T； bT為垂直移位因子，是溫度的函數，表示溫度改變對瞬時（初始）蠕變柔量的影響； aT為水平移位因子，也是溫度的函數，表示溫度變化與時間尺度延伸之間的等效關系，并且有aT＞ 1。式（14）的成立意味著巖石在參考溫度 Tref下t 時刻的蠕變力學特性可以通過相對較高溫度T下 t /aT的蠕變力學特性來表征。因此，通過短時間的高溫測試能夠獲得較低溫度的長時間的流變力學特性。

根據式（2）、（14），將線性條件下的蠕變柔量寫成初始蠕變和轉變蠕變兩部分：

然后，將非線性條件下的蠕變柔量表示寫成參考溫度下的形式，即將式（12）寫成：

結合式（15）、（16），可以得到非線性條件下巖石時溫等效效應的數學表達式：

比較式（14）、（17），發現時溫等效關系在線性和非線性條件下是一致的，惟一的差別在于垂直移位修正時需要考慮非線性系數的影響。從式（17）可以看出，非線性黏彈性時溫等效的數學表示需要確定的參數有：非線性參數0g 、1g 、2g 、aσ；表示時溫等效效應的參數水平移位因子Ta 和垂直移位因子Tb 。

在下面的試驗研究中，將首先考慮在某一應力下巖石的時溫等效效應，得到不同應力下的水平移位因子Ta 和垂直移位因子Tb 。然后通過分析不同應力下的Ta 和Tb ，可以得到0g 和aσ隨應力的變化規律。

4 試驗研究

花崗巖作為高放廢物處置庫的候選圍巖，其流變力學特性的長期演化規律是預測處置庫圍巖安全性的關鍵科學問題之一。為此，本文將利用文獻[17]的試驗結果對花崗巖的非線性黏彈性的時溫等效效應進行研究。

4.1 試驗結果

試驗所用的花崗巖采自Flossenburg 附近的采石場。花崗巖礦物的體積百分比為：石英為20%，微斜長石為30%，斜長石為35%，白云母為12%，黑云母為2%，其他為1%。試件采用巖芯鉆取法取自同一塊巖石，加工成直徑為3 cm、高為12 cm 的圓柱體，兩端用SiC 打磨拋光。采用60 t 的壓力機進行單軸蠕變試驗研究，加載應力分別為40、64、 80 MPa，測試不同溫度（20 ℃、100 ℃、150 ℃、200 ℃、400 ℃）下花崗巖的應變隨時間的變化關系，測試結果如圖1 所示。

從圖可以看出，隨著溫度的上升，花崗巖的蠕變過程顯著地加快。這也是巖石時溫等效效應研究基于的最基本的試驗現象。

4.2 垂直移位因子、水平移位因子及主曲線

下面，參考線黏彈性時溫等效理論中提出的方法[8]對不同溫度及應力下的蠕變曲線進行時溫等效效應研究。

我們選定20 ℃為參考溫度。通過分析不同溫度下的瞬時彈性模量來確定Tb 。

式中： Eref、E 分別為參考溫度及任意溫度下才瞬時彈性模量。得到不同應力及溫度下垂直移位因子bT的值如表1 所示。將圖1 中的蠕變曲線按照表1中的移位數值 bT進行垂直移位，得到修正的蠕變曲線，并將修正后的曲線表示為對數蠕變柔量與對數時間的形式（見圖2）。

圖1 花崗巖在不同溫度下的蠕變曲線 Fig.1 Creep curves of granite at different temperatures

表1 不同溫度及應力下bT 的移位值 Table 1 Shift values of bT at different temperatures and stresses

然后，對修正后的蠕變柔量時間對數曲線沿著對數時間軸進行水平移位。保持參考溫度下的曲線位置不變，較高的溫度向右水平移動，使得較高溫度的曲線能夠與參考曲線之間相交于一點，并盡可能地使它們的變化趨勢保持連續。按照這樣的步驟將非參考溫度下曲線進行平移得到的結果如圖3 所示。由此得到不同應力及溫度下的水平移位因子Ta的值如表2 所示。

表2 不同溫度及應力下aT 的移位值 Table 2 Shift values of aT at different temperatures and stresses

由圖3 中不同應力下蠕變柔量的主曲線發現：在允許的誤差范圍內，相鄰溫度蠕變柔量曲線之間的一致性較好，因此，可以認為花崗巖的時溫等效效應是存在的。

通過上述的垂直移位修正和水平移位查看，得到了花崗巖蠕變柔量在參考溫度為20 ℃條件下的主曲線。其時間尺度由蠕變測試的3.6×103s 分別延伸到106.18s（σ =40 MPa）、106.18s (σ =64 MPa)、104.78s(σ =87 MPa)。利用同樣的方法，得到了參考溫度為100 ℃條件下花崗巖蠕變柔量的主曲線（見圖4），主曲線的時間尺度分別延伸至105.48s（σ= 40 MPa）、10.518s (σ =64 MPa)、104.53s(σ =87 MPa)。

4.3 移位因子的非線性特性

根據上一節的研究，得到了不同應力下的垂直、水平移位因子及主曲線。下面分析非線性系數0g 和aσ的變化特征，由于試驗的應力數據較少，這里不對具體的表示式中定量的分析研究。

根據表1，得到垂直移位因子隨應力變化情況如圖5 所示。可以看出，隨著應力的上升，垂直移位因子總體上處于增加趨勢，因而0g 的函數表示為應力的增函數形式。

根據表2 得到水平移位因子隨應力變化情況如圖6 所示。可以看出，在應力為40、64 MPa 時，其非線性特性并不明顯，但隨著應力上升到87 MPa，水平移位因子有了顯著的改變。因而，aσ在較低應力時可以認為 1aσ= ，當應力增大到一定程度，其非線性特性明顯，可表示為應力的減函數形式。

圖5 垂直移位因子bT 隨應力的變化 Fig.5 Variation of vertical shift factor bT with stress

圖6 水平移位因子aT 隨應力的變化 Fig.6 Variation of horizontal shift factor aT with stress

5 結 論

論文基于單積分型Schapery 非線性本構方程，推導了非線性黏彈性條件下巖石時溫等效效應的數學表示，并結合國際上公開發表的不同應力及溫度下花崗巖的蠕變測試結果，探討了非線性下花崗巖的時溫等效效應，得到如下結論：

（1）非線性黏彈性時溫等效效應的數學表示可以寫成與線黏彈性時溫等效效應的數學表示相類似的形式。

（2）查看不同參考溫度下的主曲線發現：相鄰移位曲線之間的連續性及一致性良好，進一步驗證了花崗巖的時溫等效效應。通過時溫等效效應得到的參考溫度下主曲線的時間尺度遠遠超過了室內試驗得到的某一應力及溫度下試驗曲線的時間尺度。

（3）垂直移位因子和水平移位因子具有明顯的非線性特性，總的來說，垂直移位因子隨應力的增加而增加，水平移位因子隨著應力的增加而減小。

[1] 孫鈞. 巖石流變力學及其工程應用研究的若干進展[J]. 巖石力學與工程學報， 2007， 26(6)： 1081－1106. SUN Jun. Rock rheological mechanics and its advance in engineering applications[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2007， 26(6)： 1081－1106.

[2] 劉泉聲， 許錫昌， 山口勉， 等. 三峽花崗巖與溫度及時間相關的力學性質試驗研究[J]. 巖石力學與工程學報， 2001， 20(5)： 715－719. LIU Quan-sheng， XU Xi-chang， YAMAGUCHI TSUTOMO， et al. Testing study of mechanical properties of the Three Gorges granite concerning temperature and time[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2001， 20(5)： 715－719.

[3] 張寧， 趙陽升， 萬志軍， 等. 高溫三維應力下花崗巖三維蠕變的模型研究[J]. 巖石力學與工程學報， 2009， 28(5)： 875－881. ZHANG Ning， ZHAO Yang-sheng， WAN Zhi-jun， et al. Model study of three-dimensional granite creep properties under high temperature[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2009， 28(5)： 875－881.

[4] PATERSON M S. Rock deformation experimentation[J]. The Brittle-Ductile Transition in Rocks， 1990， 56： 187－194.

[5] 劉泉聲， 王崇革. 巖石時-溫等效原理的理論與實驗研究——第一部分：巖石時-溫等效原理的熱力學基礎[J]. 巖石力學與工程學報， 2002， 21(2)： 193－198. LIU Quan-sheng， WANG Chong-ge. Theoretical and experimental study of time-temperature equivalence principal for rock[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2002， 21(2)： 193－198.

[6] 劉泉聲， 許錫昌， 山口勉，等. 巖石時-溫等效原理的理論與實驗研究——第二部分：巖石時-溫等效原理主曲線與移位因子[J]. 巖石力學與工程學報， 2002， 21(3)： 320－325. LIU Quan-sheng， XU Xi-chang， YAMAGUCHI TSUTOMO， et al. Theoretical and experimental study on time-temperature equivalence principal for rock[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2001， 22(3)： 320－325.

[7] LIU Quan-sheng， ZHU Yuan-guang. Research for time-temperature equivalence effect of rock (I)： Theory research[J]. Rock and Soil Mechanics， 2011， 32(3)： 641－646.

[8] ZHU Yuan-guang， LIU Quan-sheng. Research for time-temperature equivalence effect of rock (II)： Experimental research[J]. Rock and Soil Mechanics， 2011， 32(4)： 961－966.

[9] FERRY J D. Viscoelastic properties of polymers[M]. New York： Wiley， 1961.

[10] WILLIAMS M L， LANDEL R F， FERRY J D， et al. The temperature dependence of relaxation mechanisms in amorphous polymers and other glass-forming liquids[J]. Journal of the American Chemical Society， 1955， 77(14)： 3701－3707.

[11] LEADERMAN H. Elastic and creep properties of filamentous materials and other high polymers[M]. Washington， D.C： The Textile Foundation， 1943.

[12] TOBOLSKY A V， ANDREWS R D. Systems manifesting superposed elastic and viscous behavior[J]. Journal of Chemical Physics， 1945， 13(1)： 3－27.

[13] 周光泉， 劉孝敏. 粘彈性理論[M]. 合肥： 中國科學技術大學出版社， 1996.

[14] SCHAPERY R A. On the characterization of nonlinear viscoelastic materials[J]. Polymer Engineering & Science， 1969， 9(4)： 295－310.

[15] 孫鈞. 巖土材料流變及其工程應用[M]. 北京： 中國建筑工業出版社， 1999.

[16] 金豐年. 巖石的非線性流變[M]. 南京： 河海大學出版社， 1998.

[17] RUMMEL F. Studies of time-dependent of some granite and eclogite rock samples under uniaxial constant compressive stress and temperature up to 400 ℃[J]. Zeitschrift fur Geophysik， 1969， 35： 17－42.